Siano x,y, due interi non nulli tali che z:=(x²+y²)/(x+y) è intero. Mostrare che se z|2009 allora x=y.
(Da un vecchio tst tedesco, ma ricordo di averlo visto anche in una olimpiade giapponese, e riproposto ancora in un file dello stage di Parma..)
x+y divide x^2+y^2
x+y divide x^2+y^2
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Riarrangiando, si ha $ x^2 - zx - zy + y^2 = 0 $(*). Risolvendola, per esempio, per $ x $, si ha $ x_{1,2}=\displaystyle\frac{z}{2} \pm \sqrt{\displaystyle\frac{z^2}{4} + zy -y^2} $. Siccome l'equazione * ha effettivamente soluzioni, dovrà essere $ \displaystyle-\frac{z^2}{4} - zy + y^2 \le 0 $, da cui $ \displaystyle\frac{z}{2}(1-\sqrt{5}) \le y \le \displaystyle\frac{z}{2}(1+\sqrt{5}) $.
Ora, $ 2009 $ ha solo divisori dispari, quindi $ z $ è dispari, quindi $ \displaystyle\frac{z}{2} $ non è intero. Essendo $ y $ intero, l'unico valore possibile è $ y = z $, che sostituito nell'espressione di $ x $ dà $ x = z $, dato che l'altra soluzione $ x=0 $ non è accettabile per ipotesi. Si ha dunque la tesi.
Ora, $ 2009 $ ha solo divisori dispari, quindi $ z $ è dispari, quindi $ \displaystyle\frac{z}{2} $ non è intero. Essendo $ y $ intero, l'unico valore possibile è $ y = z $, che sostituito nell'espressione di $ x $ dà $ x = z $, dato che l'altra soluzione $ x=0 $ non è accettabile per ipotesi. Si ha dunque la tesi.
Ultima modifica di Gauss91 il 03 dic 2009, 23:05, modificato 1 volta in totale.
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
probabilmente mi sono perso qualcosa io, ma non capisco la sequenza logica di questi passaggi....Gauss91 ha scritto:$ \displaystyle\frac{z}{2}(1-\sqrt{5}) \le y \le \displaystyle\frac{z}{2}(1+\sqrt{5}) $.
Ora, $ 2009 $ ha solo divisori dispari, quindi $ z $ è dispari, quindi $ \displaystyle\frac{z}{2} $ non è intero. Essendo $ y $ intero, l'unico valore possibile è $ y = z $
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Io sì! E capisco adesso che sono sbagliati: mi sono misteriosamente dimenticato dei valori razionali del coefficiente di z/2, ho preso solo quelli interi... mea culpa! Comunque, per il - al posto del +, è un errore di scrittura (infatti poi la soluzione dell'equazione è corretta). Adesso modifico.
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"