Siano $ (a,b,c) \in \mathbb{N}_0^3 $ fissati tali che $ \text{gcd}(a,b)=1 $ e $ \text{gpf}(a+b) \ge 3 $. Mostrare che esistono infiniti $ n \in \mathbb{N}_0 $ tali che $ \omega(n)=c $ e $ n \mid a^n+b^n $.
(Generalizzazione imo 2000/5)
Ps. Nel problema originale si richiedeva (a,b,c)=(2,1,2000) e l'esistenza di almeno un tale n.
Infiniti n t.c. n|a^n+b^n con omega(n) fissato.
Infiniti n t.c. n|a^n+b^n con omega(n) fissato.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Uhm... anche io lo inteso così... jordan potevi anche scriverlo se è questo il significato, alleggerendo un po le notazioni molta più gente proverebbe i tuoi esercizi ;)
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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Si, e scommetto che conosci almeno un altro teorema famoso che richiede la stessa ipotesi..edriv ha scritto:Aspetta, gpf(a+b)>=3 vuol dire che a+b non è una potenza di 2?
In un post recentemente ho anche scritto tutte le notazioni piu conosciute.. se qualcuno ha ancora dubbi sul testo poi potrebbe comunque chiedere per mp..dario2994 ha scritto:Uhm... anche io lo inteso così... jordan potevi anche scriverlo se è questo il significato, alleggerendo un po le notazioni molta più gente proverebbe i tuoi esercizi
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Infiniti n t.c. n|a^n+b^n con omega(n) fissato.
Chiamo $p$ un primo dispari che divide $a+b$ (esiste per ipotesi). Chiamo $x=\upsilon_p(a+b)$. Definisco $c_m=a^{p^m}+b^{p^m}$.
Fatto Inutile: Dato $p$ un primo dispari e $n$ intero positivo esiste $k$ tale che $\omega(c_k)\ge n$
Dimostro che la sequenza $c_m$ ha infiniti primi (cioè esistono inf primi che dividono almeno un elemento della sequenza)... assumo per assurdo ne abbia un numero finito, che sono $p,p_1,p_2,p_3,\dots p_z$. Per lifting the exponent vale:
$\upsilon_p(c_m)=\upsilon_p(a+b)+\upsilon_p(p^m)=x+m$
Ed inoltre, sempre per lifting the exponent definitivamente l'esponente degli altri primi nella fattorizzazione di $c_m$ è costante, quindi esistono $d_1,d_2,\dots , d_z$ tali che definitivamente:
$\displaystyle c_m=p^{x+m}\prod_{i=1}^zp_i^{a_i}$
Che porta all'assurdo perchè se ne ricaverebbe che definitivamente $\displaystyle \frac{a^{p^m}+b^{p^m}}{p^m}$ è costante... che è perlomeno strano.
Poichè banalmente $u\le v$ implica $c_u|c_v$ il fatto che la sequenza $c_m$ abbia infiniti primi equivale alla tesi del fatto.
Passo al problema... il fatto inutile mi assicura che esiste un k tale che esistono $p,p_1,p_2,\dots p_{c-1}$ primi che dividono $c_k$. Chiamo $s=\prod_{i=1}^{c-1}p_i$.
Ancora una volta per lifting the exponent, dato $j$ intero non negativo vale $\displaystyle p^{k+j}s|a^{p^{k+j}s}+b^{p^{k+j}s}$ e perciò ho trovato infinite soluzioni
p.s. qualcosa mi puzza
ma non tanto...
edit: corretto
Fatto Inutile: Dato $p$ un primo dispari e $n$ intero positivo esiste $k$ tale che $\omega(c_k)\ge n$
Dimostro che la sequenza $c_m$ ha infiniti primi (cioè esistono inf primi che dividono almeno un elemento della sequenza)... assumo per assurdo ne abbia un numero finito, che sono $p,p_1,p_2,p_3,\dots p_z$. Per lifting the exponent vale:
$\upsilon_p(c_m)=\upsilon_p(a+b)+\upsilon_p(p^m)=x+m$
Ed inoltre, sempre per lifting the exponent definitivamente l'esponente degli altri primi nella fattorizzazione di $c_m$ è costante, quindi esistono $d_1,d_2,\dots , d_z$ tali che definitivamente:
$\displaystyle c_m=p^{x+m}\prod_{i=1}^zp_i^{a_i}$
Che porta all'assurdo perchè se ne ricaverebbe che definitivamente $\displaystyle \frac{a^{p^m}+b^{p^m}}{p^m}$ è costante... che è perlomeno strano.
Poichè banalmente $u\le v$ implica $c_u|c_v$ il fatto che la sequenza $c_m$ abbia infiniti primi equivale alla tesi del fatto.
Passo al problema... il fatto inutile mi assicura che esiste un k tale che esistono $p,p_1,p_2,\dots p_{c-1}$ primi che dividono $c_k$. Chiamo $s=\prod_{i=1}^{c-1}p_i$.
Ancora una volta per lifting the exponent, dato $j$ intero non negativo vale $\displaystyle p^{k+j}s|a^{p^{k+j}s}+b^{p^{k+j}s}$ e perciò ho trovato infinite soluzioni
p.s. qualcosa mi puzza
ma non tanto...edit: corretto
Ultima modifica di dario2994 il 24 gen 2011, 20:59, modificato 1 volta in totale.
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
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Re: Infiniti n t.c. n|a^n+b^n con omega(n) fissato.
Era un $ c_k $ credo..dario2994 ha scritto:Fatto Inutile: Dato $p$ un primo dispari e $n$ intero positivo esiste $k$ tale che $\omega(c_m)\ge n$
Ti piace proprio la $ c $ eh?dario2994 ha scritto:il fatto inutile mi assicura che esiste un k tale che esistono $p,p_1,p_2,\dots p_{c-1}$ primi che dividono $c_k$.
Per il resto all right
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