Cercando in rete le sommatorie simmetriche, mi passato per la testa questo dubbio.
Una sommatoria simmetrica è uguale a una sommatoria che tiene conto delle disuguaglianze tra gli indici?
Mi spiego meglio.
Prendiamo e.g. $ \{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\} $. La sommatoria simmetrica di ordine $ 2 $ è
$ \displaystyle \sum_{sym}a_{1}a_{2}=a_{1}a_{2} + a_{1}a_{3} + a_{1}a_{4} + a_{2}a_{3} + a_{2}a_{4} + a_{3}a_{4} $
Questa sommatoria non è uguale alla sommatoria $ \sum_{1\leqslant i < j \leqslant 4}a_{i}a_{j} $? Se sì, vale in generale?
Sulle somme simmetriche.
Sulle somme simmetriche.
"La Morte sorride a tutti: un uomo non può fare altro che sorriderle di rimando" (Marco Aurelio)
La sommatoria va fatta su tutte le possibili permutazioni degli elementi dell'insieme. Ad esempio, nel caso con quattro elementi devi ottenere 4!=24 addendi:
$ \displaystyle\sum_{sym}a_1a_2=\sum_{sym}a_1a_2a_3^0a_4^0= $
$ =\displaystyle\sum_{cyc}(a_1a_2a_3^0a_4^0+a_1a_2a_4^0a_3^0+a_1a_3a_2^0a_4^0+a_1a_3a_4^0a_2^0+a_1a_4a_2^0a_3^0+a_1a_4a_3^0a_2^0)= $
$ =\displaystyle\sum_{cyc}2(a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4)= $
$ =2(a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4)+2(a_2a_1+a_2a_3+a_2a_4)+2(a_3a_1+a_3a_2+a_3a_4)+2(a_4a_1+a_4a_2+a_4a_3)= $
$ =4(a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4+a_2a_3+a_2a_4+a_3a_4) $
$ \displaystyle\sum_{sym}a_1a_2=\sum_{sym}a_1a_2a_3^0a_4^0= $
$ =\displaystyle\sum_{cyc}(a_1a_2a_3^0a_4^0+a_1a_2a_4^0a_3^0+a_1a_3a_2^0a_4^0+a_1a_3a_4^0a_2^0+a_1a_4a_2^0a_3^0+a_1a_4a_3^0a_2^0)= $
$ =\displaystyle\sum_{cyc}2(a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4)= $
$ =2(a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4)+2(a_2a_1+a_2a_3+a_2a_4)+2(a_3a_1+a_3a_2+a_3a_4)+2(a_4a_1+a_4a_2+a_4a_3)= $
$ =4(a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4+a_2a_3+a_2a_4+a_3a_4) $
Sì, lo so. Ho cercato in rete degli esempi di sommatoria simmetrica per farmi un'idea. Al che mi è venuto quel dubbio. Mi è venuto quel dubbio perché mi pare che la sommatoria simmetrica che ho scritto io sia la sommatoria simmetrica senza ripetizioni, mentre quella scritta da pak-man è quella con le ripetizioni.jordan ha scritto:Mi pareva di averlo già spiegato qui
Io mio dubbio è se quella simmetrica senza ripetizioni abbia la proprietà di cui domando nel post con cui apro questo topic. Lo chiedo perché mi pare di avere scritto la sommatoria simmetrica senza ripetizioni. mi pare... e mi pare strano che sia uguale a $ \sum_{1\leqslant i < j \leqslant 4 $...
"La Morte sorride a tutti: un uomo non può fare altro che sorriderle di rimando" (Marco Aurelio)
Re: Sulle somme simmetriche.
Sì, $ \displaystyle~\sum_{1\leqslant i < j \leqslant 4}a_{i}a_{j}=a_{1}a_{2} + a_{1}a_{3} + a_{1}a_{4} + a_{2}a_{3} + a_{2}a_{4} + a_{3}a_{4} $, anzi devi usare questa sommatoria perché su questo forum $ \displaystyle~ \sum_{sym}a_{1}a_{2} $ viene intesa come ha scritto pak-manWiZaRd ha scritto:$ \displaystyle \sum_{sym}a_{1}a_{2}=a_{1}a_{2} + a_{1}a_{3} + a_{1}a_{4} + a_{2}a_{3} + a_{2}a_{4} + a_{3}a_{4} $
Questa sommatoria non è uguale alla sommatoria $ \sum_{1\leqslant i < j \leqslant 4}a_{i}a_{j} $? Se sì, vale in generale?
(Continuo a ripetere che la tua definizione di somma simmetrica non corrisponde esattamente a quella conosciuta qui) comunque (se gli esponenti sono solo 0 e 1) sì, infatti prendi coppie ordinate distinte, quindi in ogni monomio $ \displaystyle~a_ia_j $ della somma puoi supporre wlog $ \displaystyle~i<j $.WiZaRd ha scritto:Una sommatoria simmetrica è uguale a una sommatoria che tiene conto delle disuguaglianze tra gli indici?
Supponi ora di avere 6 reali $ \displaystyle~a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6 $. La cosa si complica se vuoi fare ad es. la somma di tutti i monomi $ \displaystyle~a_i^3a_ja_k $ in modo che non ci siano ripetizioni ma in modo che termini come $ \displaystyle~a_4^3a_2a_1 $ vengano considerati. Il discorso sulle disuguaglianze sugli indici non funziona più e il modo migliore per scrivere questa somma è considerare in quanti modi si ripeterebbero monomi uguali se facessimo una somma simmetrica (come definita da pak-man). In definitiva basta scrivere $ \displaystyle~\frac{\text{somma simmetrica}}{\text{numero di ripetizioni}} $.
In questo esempio gli esponenti formano la tupla $ \displaystyle~(3,1,1,0,0,0) $, quindi ogni monomio si ripete $ \displaystyle~2!\cdot3! $ volte ($ \displaystyle~2! $ per i due 1 e $ \displaystyle~3! $ per i tre 0). Quindi la somma dell'esempio la puoi scrivere come $ \displaystyle~\frac{\sum_{sym}a_1^3a_2a_3}{2!\cdot3!} $
La tua somma la potevi anche scrivere come $ \displaystyle~\frac{\sum_{sym}a_1a_2}{2!\cdot2!} $
Spero di non aver scritto cavolate soprattutto nell'ultima parte (inventata)...
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
Scusate se tiro fuori questo topic dopo un pò di tempo... Volevo chiedervi se potete chiarirmi la somma simmetrica... Non ho ben capito perchè, se va fatta su tutte le permutazioni, devo ottenere 24 addendi (in questo caso: $ \displaystyle\sum_{sym}a_1a_2 $ )... non dovrebbero essere 12? Cioè $ 4*3 $visto che non mi interessano i casi di "doppi" $ a_1a_1 ? $pak-man ha scritto:La sommatoria va fatta su tutte le possibili permutazioni degli elementi dell'insieme. Ad esempio, nel caso con quattro elementi devi ottenere 4!=24 addendi:
$ \displaystyle\sum_{sym}a_1a_2=\sum_{sym}a_1a_2a_3^0a_4^0= $
$ =\displaystyle\sum_{cyc}(a_1a_2a_3^0a_4^0+a_1a_2a_4^0a_3^0+a_1a_3a_2^0a_4^0+a_1a_3a_4^0a_2^0+a_1a_4a_2^0a_3^0+a_1a_4a_3^0a_2^0)= $
$ =\displaystyle\sum_{cyc}2(a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4)= $
$ =2(a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4)+2(a_2a_1+a_2a_3+a_2a_4)+2(a_3a_1+a_3a_2+a_3a_4)+2(a_4a_1+a_4a_2+a_4a_3)= $
$ =4(a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4+a_2a_3+a_2a_4+a_3a_4) $
Grazie in anticipo...
Siii ho capito dove ho sbagliato..
In realtà sono doppi!
Ma allora ho un'altra domanda... nella somma ciclica si deve "ciclare" le lettere o si devono permutare?
Es.: dati a,b,c,d
$ \displaystyle\sum_{cyc}ab = $
1) $ ab+bc+cd+ad $
2) $ ab+bc+cd+ad+ac+cd $
Cioè la differenza dalla somma simmetrica è solo che in cyc conto uguali gruppi con ordine diverso mentre in sym le conto diverse?
(spero di essermi spiegato...)
In realtà sono doppi!Ma allora ho un'altra domanda... nella somma ciclica si deve "ciclare" le lettere o si devono permutare?
Es.: dati a,b,c,d
$ \displaystyle\sum_{cyc}ab = $
1) $ ab+bc+cd+ad $
2) $ ab+bc+cd+ad+ac+cd $
Cioè la differenza dalla somma simmetrica è solo che in cyc conto uguali gruppi con ordine diverso mentre in sym le conto diverse?
(spero di essermi spiegato...)
Non mi è molto chiaro il senso di ciò che hai scritto, vediamo se ho interpretato correttamente.
Se a,b,c,d sono prese in quest'ordine, $ $\sum_{cyc}ab=ab+bc+cd+da $, se sono prese nell'ordine a,c,b,d, bisognerebbe scrivere $ $\sum_{cyc}ac $, che è uguale a $ $ac+cb+bd+da $ (dunque sì, sono due scritture diverse).
Se a,b,c,d sono prese in quest'ordine, $ $\sum_{cyc}ab=ab+bc+cd+da $, se sono prese nell'ordine a,c,b,d, bisognerebbe scrivere $ $\sum_{cyc}ac $, che è uguale a $ $ac+cb+bd+da $ (dunque sì, sono due scritture diverse).