Equazione con primi
Equazione con primi
Provare che l'equazione $ p^4+q^4=r^4 $ non ha soluzioni nell'insieme dei numeri primi.
I primi non possono essere tutti dispari per questioni di parità, ma devono essere o tutti pari o un pari e due dispari.
Il caso con tutti pari è banale: 2^4+2^4\neq2^4
Anche il caso con r pari è banale: p^4+q^4=2^4. Poichè il numero primo più piccolo è 2, allora si avrà WLOG p^4\ge q^4>2^4, assurdo.
Se invece p (WLOG) è pari, si avrà
16+q^4=r^4.
Poichè i numeri primi maggiori di 3 sono \equiv \pm1\pmod6 (infatti se fossero 2,3,4 sarebbero divisibili per 2,3,2 rispettivamente), allora quest'equazione è assurda mod 6 se nessuno tra q e r è uguale a 3.
Allora o q o r saranno uguali a 3. il primo caso porta a 97=r^4, il secondo a q^4=65, ma nè 97 nè 65 sono quarte potenze.
Il caso con tutti pari è banale: 2^4+2^4\neq2^4
Anche il caso con r pari è banale: p^4+q^4=2^4. Poichè il numero primo più piccolo è 2, allora si avrà WLOG p^4\ge q^4>2^4, assurdo.
Se invece p (WLOG) è pari, si avrà
16+q^4=r^4.
Poichè i numeri primi maggiori di 3 sono \equiv \pm1\pmod6 (infatti se fossero 2,3,4 sarebbero divisibili per 2,3,2 rispettivamente), allora quest'equazione è assurda mod 6 se nessuno tra q e r è uguale a 3.
Allora o q o r saranno uguali a 3. il primo caso porta a 97=r^4, il secondo a q^4=65, ma nè 97 nè 65 sono quarte potenze.
Soluzione alternativa (se sto diventando palloso ditemelo ):
L'equazione è equivalente a:
$ p^4=r^4-q^4=(r-q)(r+q)(r^2+q^2) $
Ma $ p $ è un numero primo,quindi tutti e tre i fattori del secondo membro devono essere potenze di $ p $. Poniamo quindi $ r-q=p^a $ ; $ r+q=p^b $ ; $ r^2+q^2=p^c $,con $ (a,b,c) \in \mathbb{N}^3 \wedge a+b+c=4 $. Notiamo ora che $ r-q<r+q<r^2+q^2 $ perchè,essendo $ r $ e $ q $ primi,sono entrambi maggiori di $ 1 $. Segue che $ a<b<c $. Quindi,se avessimo $ a=1 $ ,seguirebbe $ b \ge 2 $ e $ c \ge 3 $ ,da cui $ a+b+c \ge 6 $ (assurdo).
Dunque si deve avere $ a<1 \Rightarrow a=0 $. In questo modo troviamo $ r-q=p^a=p^0=1 $. Gli unici numeri primi consecutivi sono $ 2 $ e $ 3 $,ma $ 3^4-2^4 $ $ (=65) $ non è una quarta potenza (di un intero). Dunque l'equazione è impossibile
L'equazione è equivalente a:
$ p^4=r^4-q^4=(r-q)(r+q)(r^2+q^2) $
Ma $ p $ è un numero primo,quindi tutti e tre i fattori del secondo membro devono essere potenze di $ p $. Poniamo quindi $ r-q=p^a $ ; $ r+q=p^b $ ; $ r^2+q^2=p^c $,con $ (a,b,c) \in \mathbb{N}^3 \wedge a+b+c=4 $. Notiamo ora che $ r-q<r+q<r^2+q^2 $ perchè,essendo $ r $ e $ q $ primi,sono entrambi maggiori di $ 1 $. Segue che $ a<b<c $. Quindi,se avessimo $ a=1 $ ,seguirebbe $ b \ge 2 $ e $ c \ge 3 $ ,da cui $ a+b+c \ge 6 $ (assurdo).
Dunque si deve avere $ a<1 \Rightarrow a=0 $. In questo modo troviamo $ r-q=p^a=p^0=1 $. Gli unici numeri primi consecutivi sono $ 2 $ e $ 3 $,ma $ 3^4-2^4 $ $ (=65) $ non è una quarta potenza (di un intero). Dunque l'equazione è impossibile
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
Maledetti fisici! (cit.)
Re: Equazione con primi
Dato che $ \displaystyle \prod_{sym}{(p-q)^2}>0 $ e che $ 5 \mid p^4-1 \text{ per ogni } p \in \mathbb{P} \setminus\{5\} $ abbiamo che $ 10 \mid pq $, ma $ 5^4+2^4 $ non è una potenza quarta.geda ha scritto:Provare che l'equazione $ p^4+q^4=r^4 $ non ha soluzioni nell'insieme dei numeri primi.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
oppure ancora: L'equazione $ x^4 + y^4 = z^4 $ non ha soluzioni in N per l'ultimo teorema di fermat, quindi non avra soluzioni neanche in P.
PS: lo so che usare cannoni del genere e' strettamente non olimpico! pero e' figo
PS2: so anche che questa soluzione e' venuta in mente a tutti quelli che hanno guardato quest'esercizio
PS: lo so che usare cannoni del genere e' strettamente non olimpico! pero e' figo
PS2: so anche che questa soluzione e' venuta in mente a tutti quelli che hanno guardato quest'esercizio
MIND TORNA CON NOI
Non vorrei dire eresie, ma se ben ricordo questo caso particolare si dimostra in maniera abbastanza olimpica con la discesa infinita. Giusto?Jacobi ha scritto:oppure ancora: L'equazione $ x^4 + y^4 = z^4 $ non ha soluzioni in N per l'ultimo teorema di fermat, quindi non avra soluzioni neanche in P.
EDIT: ecco qua