Disequazione
Disequazione
$ \sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x}\ge6,x\in\mathbb{R} $
Trovare l'intervallo delle x per cui questa diseguaglianza viene verificata.
Prima che qualcuno dica che sembra un compito a casa, dico già da subito che ha ragione xD. Solo che nè io nè la mia professoressa siamo riusciti a risolverla (tra l'altro l'ha inventata lei) senza usare le derivate, quindi chiedo aiuto qui
edit: modificato il testo su richiesta di jordan
Trovare l'intervallo delle x per cui questa diseguaglianza viene verificata.
Prima che qualcuno dica che sembra un compito a casa, dico già da subito che ha ragione xD. Solo che nè io nè la mia professoressa siamo riusciti a risolverla (tra l'altro l'ha inventata lei) senza usare le derivate, quindi chiedo aiuto qui
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Ultima modifica di Veluca il 06 ott 2009, 22:37, modificato 1 volta in totale.
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tramite le medie 1/3-esime, abbiamo
$ LHS\le2\sqrt[3]{36} $
per x reali
$ LHS\le2\sqrt[3]{36} $
per x reali
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
1) non è valido solo per entrambi i radicandi positivi?
2) comunque sia viene che è valida solo per $ -28\le x\le28 $, ma volevo un metodo di arrivarci "scolastico" o quantomeno che non implichi l'uso di derivate
2) comunque sia viene che è valida solo per $ -28\le x\le28 $, ma volevo un metodo di arrivarci "scolastico" o quantomeno che non implichi l'uso di derivate
Ultima modifica di Veluca il 06 ott 2009, 22:46, modificato 4 volte in totale.
Re: Disequazione
Ok, ora ha senso. Definiamo $ f(\cdot):\mathbb{R} \to \mathbb{R}:x \to \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{72-x} $ siano $ a_1,a_2,\ldots $ tutti e i soli numeri reali tali che $ f(a_i)=6 $ per ogni $ i $ (a priori non sai nemmeno se tale sequenza è numerabile). Allora, per ogni $ i $, vale $ 6^3=f^3(a_i)=6^2 \cdot 2 + 3 f(a_i) \sqrt[3]{a_i(72-a_i)} $ cioè $ a_i(72-a_i) $ è una costante fissata. Ciò mostra che $ i \le 2 $. Per verificare che $ i $ è esattamente $ 2 $ è sufficiente notare che $ f(x)=f(72-x) $ e che $ f(2^3)=6 $. Inoltre $ f(0)>6 $ e la funzione $ f(\cdot) $ è continua, per cui $ x \in \mathbb{R} $ verifica $ f(x) \ge 6 $ se e solo se $ x \in [2^3,2^6] $. []Veluca ha scritto:$ \sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x}\ge6,x\in\mathbb{R} $
Trovare l'intervallo delle x per cui questa diseguaglianza viene verificata.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Prova ad usare la scomposizione della somma di due cubi, per risolvere l'equazione associata.Veluca ha scritto:1) non è valido solo per entrambi i radicandi positivi?
2) comunque sia viene che è valida solo per $ -28\le x\le28 $, ma volevo un metodo di arrivarci "scolastico" o quantomeno che non implichi l'uso di derivate
non capisco. Cerchi un metodo elementare per risolvere il problema e dici che l'elevazione al cubo o la scomposizione della somma di cubi non va bene?Veluca ha scritto:Sì, si fa prima elevando al cubo, l'avevo anche fatto così, ma avevo escluso questo metodo perchè semplicemente se lo dico in classe mi prendono per pazzo .. sapete com'è a scuola no?
perche'?
PS
io non so "com'e' (adesso) a scuola"
Una soluzione elementare potrebbe fondarsi sulla formula:
$ \displaystyle (u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v) $
Nel caso nostro ,elevando al cubo l'intera disequazione,si ha:
$ \displaystyle 72+3\sqrt[3]{36^2-x^2}(\sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x})\ge 216 $
Oppure:
$ \displaystyle \sqrt[3]{36^2-x^2}(\sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x})\ge 48 $
Poiché la somma dei due radicali deve essere non inferiore a 6, si può porre :
$ \displaystyle \sqrt[3]{36^2-x^2} \ge 8 $
Da cui,elevando di nuovo al cubo, si trae facilmente la soluzione $ -28\le x \le +28 $
Naturalmente si può obiettare che vi sono infinite combinazioni possibili di valori
ma questa mi sembra quella minima...tenuto conto della inequazione iniziale.
$ \displaystyle (u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v) $
Nel caso nostro ,elevando al cubo l'intera disequazione,si ha:
$ \displaystyle 72+3\sqrt[3]{36^2-x^2}(\sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x})\ge 216 $
Oppure:
$ \displaystyle \sqrt[3]{36^2-x^2}(\sqrt[3]{36-x}+\sqrt[3]{36+x})\ge 48 $
Poiché la somma dei due radicali deve essere non inferiore a 6, si può porre :
$ \displaystyle \sqrt[3]{36^2-x^2} \ge 8 $
Da cui,elevando di nuovo al cubo, si trae facilmente la soluzione $ -28\le x \le +28 $
Naturalmente si può obiettare che vi sono infinite combinazioni possibili di valori
ma questa mi sembra quella minima...tenuto conto della inequazione iniziale.
@Veluca & karl: ponendo $ \displaystyle~y=36-x $ si ha che la disuguaglianza è vera sse $ \displaystyle~\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{72-y}\ge 6 $ sse $ \displaystyle~\sqrt[3]{72-y}\ge 6-\sqrt[3]{y} $ sse $ \displaystyle~72-y\ge 216-108\sqrt[3]{y}+18\sqrt[3]{y^2}-y $ (che una disequazione rimanga equivalente elevandola al cubo lo sanno tutti, del resto la discussione è la cosa su cui purtroppo si batte di più nella nostra scuola...). Ponendo $ \displaystyle~t=\sqrt[3]{y} $ abbiamo $ \displaystyle~18t^2-108t+144\le 0 $ o anche $ \displaystyle~(t-2)(t-4)\le 0 $ o anche $ \displaystyle~2\le t\le 4 $. Questo dà $ \displaystyle~8\le y\le 64 $ o anche $ \displaystyle~-28\le x\le 28 $... Questa la capiscono di sicuro, dato che sanno risolvere le disequazioni di 2° grado.
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
bella soluzione!!!A me non era venuta in mentekn ha scritto:@Veluca & karl: ponendo $ \displaystyle~y=36-x $ si ha che la disuguaglianza è vera sse $ \displaystyle~\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{72-y}\ge 6 $ sse $ \displaystyle~\sqrt[3]{72-y}\ge 6-\sqrt[3]{y} $ sse $ \displaystyle~72-y\ge 216-108\sqrt[3]{y}+18\sqrt[3]{y^2}-y $ (che una disequazione rimanga equivalente elevandola al cubo lo sanno tutti, del resto la discussione è la cosa su cui purtroppo si batte di più nella nostra scuola...). Ponendo $ \displaystyle~t=\sqrt[3]{y} $ abbiamo $ \displaystyle~18t^2-108t+144\le 0 $ o anche $ \displaystyle~(t-2)(t-4)\le 0 $ o anche $ \displaystyle~2\le t\le 4 $. Questo dà $ \displaystyle~8\le y\le 64 $ o anche $ \displaystyle~-28\le x\le 28 $... Questa la capiscono di sicuro, dato che sanno risolvere le disequazioni di 2° grado.
@karl:ma sei sicuro che quel metodo funzioni??Forse sono io che non ho capito ma mi restano dei dubbi
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
goritmi
In effetti il mio suggerimento non prevede cose molto complicate. Chiamando (per brevita' di scrittura) A e B le due radici cubiche, dobbiamo risolvre A+B = 6.Veluca ha scritto:@karl: è la prima idea che avevo avuto, ma non rischi di escludere soluzioni?
@sprmnt21: siamo al livello che non si sa calcolare $ \displaystyle\frac{4\sqrt2}{\sqrt{\frac12}} $
Ma A^3 + B^3 = 72
e quindi
(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3 = 6 (A^2-AB+B^2) = (A+B)^2 -3AB.
Da queste si ha che AB = 8 cioe' x=+/- 28.
A questo punto sappiamo che la funzione f(x)=A+B-6 attraversa l'asse x solo in questi due punti. Notando che per x molto grande in valore assoluto, f(x) e' negativa e che per x=0 e' positiva si ah che f(x)>0 per i valori di x in (-28, +28).
PS
Questa soluzione avrebbe tra laltro il avntaggio di far fare riflessioni sulla continuita' e d'intorni e non solo una mera applicazioni di algoritmi risolutivi.