Costruzioni geometriche for dummies

[Tibor Gallai]

Questo thread è pensato per far capire tramite esempi cosa sono le costruzioni con riga e compasso, e come si approccia un problema di costruzione geometrica.

Parto con un mega-classico (espressamente dedicato a karlosson_sul_tetto, prego gli esperti di astenersi).

Problema 1
Dato un segmento, costruire il suo punto medio.

Come si legge questo testo? "Dato un segmento" significa che tu hai come dato del problema 2 punti nel piano, che sono gli estremi di un segmento. "Costruire il punto medio" significa elencare una sequenza finita di operazioni, il cui risultato sia l'individuazione del punto medio del segmento dato. Le operazioni devono coinvolgere soltanto una riga (di lunghezza infinita, ma senza scala graduata, ovvero senza numeri), un compasso (di apertura illimitata) ed una matita. Quello che si può fare è: scegliere un punto a caso nel piano (NON un punto di coordinate prestabilite, ma un punto completamente casuale), tracciare una retta passante per 2 punti già individuati, tracciare una circonferenza con centro in un punto già individuato e passante per un punto già individuato, riportare distanze tra punti da una parte ad un'altra del piano (tramite il compasso) e cose di questo genere. Un punto si dice "individuato" quando è un dato del problema, oppure quando è stato scelto "a caso" durante un passaggio della costruzione, oppure quando è nell'intersezione di 2 elementi tracciati durante la costruzione (retta-circonferenza, 2 rette incidenti, etc).

Buon lavoro!

EDIT: copio anche qua i problemi mano a mano che li aggiungo.

Problema 2
Data una retta $ $r $ ed un punto P esterno ad essa, costruire la retta per P parallela a $ $r $.

Problema 3
Dato un segmento AB ed un intero positivo n, suddividere AB in n segmenti uguali.

Problema 4
Data una circonferenza, costruire il suo centro.

Problema 5
Data una circonferenza $ $\gamma $ ed un punto esterno P, costruire le rette per P tangenti a $ $\gamma $.

Problema 6
Dato un angolo, costruire la sua bisettrice.

Problema 7
Dato un triangolo, costruire la sua circonferenza inscritta.

Problema 8
Dato un trianglo ABC ed un segmento DE, costruire un punto F in modo che il triangolo DEF sia simile ad ABC.

Problema 9
Date due circonferenze esterne l'una rispetto all'altra, costruire tutte le tangenti comuni.

Problema 10
Costruire 3 circonferenze tangenti esternamente a due a due, e centrate in 3 punti dati.

Problema 11
Dato un segmento lungo 1 e un segmento lungo $ $x $, costruire un segmento lungo $ $\sqrt x $.

Problema 12
Dato un segmento lungo 1, un segmento lungo x e un segmento lungo y, costruire un segmento lungo xy.

Problema 13
Dato un segmento lungo 1 e un segmento lungo x, costruire un segmento lungo 1/x.

Problema 14
Costruire un rettangolo aureo.

Problema 15
Costruire un pentagono regolare.

[Eulero]

allora.......si punta il compasso agli estremi A e B del segmento con un'apertura maggiore della metà del segmento e si ottengono due archi di circonferenza che si intersecano in due punti C e D.Il segmento che congiunge C e D interseca nel punto medio il segmento AB

[karlosson_sul_tetto]

Un pò semplice:
Se non mi sbaglio,allora negli estremi tracciamo una circonferenza di raggio del segmento;nella loro intersezione tracciamo una circonferenza tangente al segmento;il punto in cui la 3° circonferenza tocca il segmentoè il punto medio.

[karlosson_sul_tetto]

No!Un miuto dopo!No!
vorrei dire che non ho copiato.

[Eulero]

vabbè preferisco la mia soluzione ,ma anche la tua non è male

[karlosson_sul_tetto]

A dire la verità è la stessa cosa!

[Tibor Gallai]

Ok, entrambe le risposte si avvicinano alla soluzione del problema, ma non possono essere considerate esatte, per 2 diversi motivi.

La soluzione di Eulero (!!) fa una mossa illegale: apre il compasso di "più della metà" di AB. Ma il compasso può essere aperto solo di una lunghezza già nota, ovvero può essere puntato solo in un punto già individuato, e fare una circonferenza passante per un punto già individuato. D'altra parte, si possono individuare punti a caso sul segmento AB, ma non si può garantire a priori che una distanza sia maggiore della metà di AB.

La soluzione di karlosson_sul_tetto contiene il modo giusto di correggere la soluzione di Eulero: puntare il compasso in A e fare una circ. passante per B. Poi puntare in B e fare una circ. per A. In questo modo si usano solo punti già individuati, e si ottengono i punti C e D indicati da Eulero. Da qui, si può concludere tracciando la retta CD, come fa Eulero. Tuttavia il modo di procedere di karlosson_sul_tetto non è lecito, perché non si può fare una circonferenza con centro in un punto noto e tangente ad una retta nota. Una circonferenza deve passare sempre per un punto noto.

Quindi riassumendo, una soluzione esatta è:

E' dato il segmento AB.
Traccio la circonferenza $ $\gamma_1 $ centrata in A e passante per B.
Traccio la circonferenza $ $\gamma_2 $ centrata in B e passante per A.
Individuo i due punti C e D, intersezioni delle circonferenze $ $\gamma_1 $ e $ $\gamma_2 $.
Traccio la retta CD.
Individuo il punto M, intersezione delle rette AB e CD. M è il punto medio di AB.

[Tibor Gallai]

Problema 2
Data una retta $ $r $ ed un punto P esterno ad essa, costruire la retta per P parallela a $ $r $.

Problema 3
Dato un segmento AB ed un intero positivo n, suddividere AB in n segmenti uguali.

[karlosson_sul_tetto]

Problema 2
Data una retta $ $r $ ed un punto P esterno ad essa, costruire la retta per P parallela a $ $r $.

Problema 3
Dato un segmento AB ed un intero positivo n, suddividere AB in n segmenti uguali.

Sempre con gli stessi strumenti di prima?

[Tibor Gallai]

Sìsì, sono sempre costruzioni geometriche.
Ovviamente d'ora in poi, quando vorrete trovare il punto medio di un segmento, potrete invocare il Problema 1 (come se fosse un teorema!), senza ripetere la costruzione esplicitamente... E lo stesso varrà per i Problemi 2, 3, etc... Quando saranno stati risolti!

[karlosson_sul_tetto]

Bé,io sono arrivato a fare quella retta parallela,ma non passante per P,ma per la metà tra la sua distanza dalla retta...il 3 nenche mi viene in mente niente.

P.S.mi chiedo:perchè non l'hai aperta in birreria?

[Kopernik]

Bravo Tibor. Apprezzo molto l'apertura di questo topic che secondo me è molto utile per tutti i ragazzi (e non) che frequentano questo forum. Per la cronaca, il problema 1 è il teorema 10 del primo libro degli Elementi di Euclide; il problema 2 è il teorema 31, sempre del primo libro. Il problema 3 mi pare che non sia presente in Euclide, ma potrei sbagliarmi.

[Maioc92]

karlosson un consiglio:
trova prima la costruzione per tracciare la retta perpendicolare a una retta data in un punto dato (appartenente alla retta), perchè è una cosa molto utile per entrambi i problemi. Usa la costruzione dell'asse che conosci già per ricavarla

[pak-man]

Costruzione della perpendicolare a una retta $ ~r $ data da un punto $ ~P $ sulla retta dato.

Scegliamo un punto $ ~Q_1 $ casualmente sulla retta e distinto da $ ~P $. Tracciamo la circonferenza di centro $ ~P $ passante per $ ~Q_1 $ che taglia $ ~r $ in $ ~Q_1 $ e $ ~Q_2 $.
Tracciamo la circonferenza $ ~\Gamma_1 $ di centro $ ~Q_1 $ e raggio $ ~Q_1Q_2 $ e la circonferenza $ ~\Gamma_2 $ di centro $ ~Q_2 $ e raggio $ ~Q_2Q_1 $.
La retta passante per i due punti di intersezione tra $ ~\Gamma_1 $ e $ ~\Gamma_2 $ passa per $ ~P $ ed è perpendicolare a $ ~r $.

Adesso il problema 2 diventa: trova il modo di tracciare la perpendicolare a $ ~r $ per $ ~P $ e poi traccia la perpendicolare a questa nuova retta per $ ~P $

-edit-
corretto il raggio di $ ~\Gamma_1 $ e $ ~\Gamma_2 $

[karlosson_sul_tetto]

Ho finalmente capito il 2!:
Prendiamo due punti A e B;facciamo:

E' dato il segmento AB.
Traccio la circonferenza $ $\gamma_1 $ centrata in A e passante per B.
Traccio la circonferenza $ $\gamma_2 $ centrata in B e passante per A.
Individuo i due punti C e D, intersezioni delle circonferenze $ $\gamma_1 $ e $ $\gamma_2 $.
Traccio la retta CD.
Individuo il punto M, intersezione delle rette AB e CD. M è il punto medio di AB.

Tracciamo una retta passante per CD: s.Uniamo A e B con P.Individuiamo il punto medio di AP e BP e tracciamo per loro la retta t.Nell'incontro tra s e t mettiamo il punto E e tracciamo una circonferenza in E passante per M.Chiamiamo l'incrocio tra s e l'ultima circonferenza F.Tracciamo la retta per PF ed abbiamo la desiderta retta parallela.
Se non ho scritto chiaro chiamatemi.
E pak-man rovina tutto