2^x-1 divide 3^y-1
Ci provo...
$ (2^0+2^1+...+2^{x-1}) | 2(3^0+3^1+...+3^{y-1}) $
$ (1/2 +1 +2^1+...+2^{x-2}) | (3^0+3^1+...+3^{y-1}) $
La presenza di 1/2 ci suggerisce che deve esistere un k pari altrimenti non verrebbe un numero intero...
Ma la parte di destra è dispari, assurdo.
$ (2^0+2^1+...+2^{x-1}) | 2(3^0+3^1+...+3^{y-1}) $
$ (1/2 +1 +2^1+...+2^{x-2}) | (3^0+3^1+...+3^{y-1}) $
La presenza di 1/2 ci suggerisce che deve esistere un k pari altrimenti non verrebbe un numero intero...
Ma la parte di destra è dispari, assurdo.
"Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica e l'amore"
attento perchè ti confondi, tu hai solo detto in altro modo che dispari*k=pari implica k pari, ma non puoi trovare un assurdo da ciò. Dopo devi fare riferimento alla prima scrittura non alla secondagismondo ha scritto:Ci provo...
$ (2^0+2^1+...+2^{x-1}) | 2(3^0+3^1+...+3^{y-1}) $
$ (1/2 +1 +2^1+...+2^{x-2}) | (3^0+3^1+...+3^{y-1}) $
La presenza di 1/2 ci suggerisce che deve esistere un k pari altrimenti non verrebbe un numero intero...
Ma la parte di destra è dispari, assurdo.
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
intanto per fare chiarezza diciamo che A e B sono l'LHS e l'RHS della seconda scrittura. Il fatto è che 2k*A è pari solo se k è pari, infatti se sviluppi 2A trovi che è della forma 2m+1gismondo ha scritto:Chiamiamo A la parte sinistra: A non è un numero intero.
Chiamiamo B la parte destra: B è un numero dispari.
(2k) * A = B
Implica che B sia pari, ma non lo è...
Dove sbaglio?
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Sei davvero vuoi imparare non postare tutti questi messaggi inutili e casomai prova a farlo un eserciziokarlosson_sul_tetto ha scritto:Quindi io ho chiesto per imparare!L'inizio e la fine dei mali personali (jordan) ha scritto:Appunto!
Ps. Ora addirittura personali
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- karlosson_sul_tetto
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Ho una soluzione un po' brutta.. (sempre che sia giusta )
Vanno bene tutte le soluzioni $ \displaystyle~(1,y) $, perciò supponiamo $ \displaystyle~x>1 $: sia $ \displaystyle~p $ un primo che divide $ \displaystyle~2^x-1 $, allora $ \displaystyle~3^y\equiv 1\pmod p $. Se $ \displaystyle~g $ è il generatore modulo $ \displaystyle~p $ è $ \displaystyle~g^a\equiv 3\pmod p $ per qualche $ \displaystyle~a $. Quindi $ \displaystyle~g^{ay}\equiv 1\pmod p $, da cui $ \displaystyle~p-1\mid ay $. Segue che $ \displaystyle~a $ è pari e quindi $ \displaystyle~3 $ è un residuo quadratico. Ma con la reciprocità quadratica si trova facilmente che $ \displaystyle~3 $ è un residuo quadratico solo se $ \displaystyle~p\equiv \pm 1\pmod{12} $, da cui $ \displaystyle~2^x-1\equiv\pm 1\pmod{12} $. $ \displaystyle~2^x-1\equiv -1\pmod{12} $ implica $ \displaystyle~3\mid 2^x $, che non dà soluzioni. $ \displaystyle~2^x-1\equiv 1\pmod{12} $ implica $ \displaystyle~2^{x-1}\equiv 1\pmod 6 $, che dà $ \displaystyle~2^{x-1} $ dispari, falso se $ \displaystyle~x>1 $..
Vanno bene tutte le soluzioni $ \displaystyle~(1,y) $, perciò supponiamo $ \displaystyle~x>1 $: sia $ \displaystyle~p $ un primo che divide $ \displaystyle~2^x-1 $, allora $ \displaystyle~3^y\equiv 1\pmod p $. Se $ \displaystyle~g $ è il generatore modulo $ \displaystyle~p $ è $ \displaystyle~g^a\equiv 3\pmod p $ per qualche $ \displaystyle~a $. Quindi $ \displaystyle~g^{ay}\equiv 1\pmod p $, da cui $ \displaystyle~p-1\mid ay $. Segue che $ \displaystyle~a $ è pari e quindi $ \displaystyle~3 $ è un residuo quadratico. Ma con la reciprocità quadratica si trova facilmente che $ \displaystyle~3 $ è un residuo quadratico solo se $ \displaystyle~p\equiv \pm 1\pmod{12} $, da cui $ \displaystyle~2^x-1\equiv\pm 1\pmod{12} $. $ \displaystyle~2^x-1\equiv -1\pmod{12} $ implica $ \displaystyle~3\mid 2^x $, che non dà soluzioni. $ \displaystyle~2^x-1\equiv 1\pmod{12} $ implica $ \displaystyle~2^{x-1}\equiv 1\pmod 6 $, che dà $ \displaystyle~2^{x-1} $ dispari, falso se $ \displaystyle~x>1 $..
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
..Perchè? non potrebbe darsi che sia y ad essere pari?...spero di non aver scritto eresie perchè non sono molti pratico con i generatori...Comunque se non sbaglio $ 2^3-1|3^6-1 $..kn ha scritto:Quindi $ \displaystyle~g^{ay}\equiv 1\pmod p $, da cui $ \displaystyle~p-1\mid ay $. Segue che $ \displaystyle~a $ è pari