2^x-1 divide 3^y-1

[jordan]

Trovare tutti gli interi positivi dispari x,y tali che $ 2^x-1 \mid 3^y-1 $

[karlosson_sul_tetto]

Scusa la domanda ma sono di prima media :cosa intendi per "|"?

[Fedecart]

E' il simbolo di divide... vuol dire che $ 2^x-1 $ è un divisore di $ 3^y-1 $...
Si può scrivere analogamente $ k(2^x-1)=3^y-1 $ con k intero...

[karlosson_sul_tetto]

Ah,grazie Fedecart!!

Finora:x=1;e y qualunque...

[jordan]

Ho già scritto in altri post che per cose del genere si devono usare gli mp

[karlosson_sul_tetto]

Ho già scritto in altri post che per cose del genere si devono usare gli mp

E perche?

[jordan]

@ i mod: non si potrebbe mettere una limitazione agli smile che si possono inserire in un messaggio? sullo stile di Mathlinks..
@ Karlosson: sono i messaggi privati che puoi inviare ad altri utenti. C'è la scritta mp sotto la firma di ogni post.

[karlosson_sul_tetto]

Scusa,sono un po tonto
L'ho capito solo qualche secondo fa...

[jordan]

Ho già scritto in altri post che per cose del genere si devono usare gli mp

E perche?

Karlosson, non mi piace per niente che editi i messaggi e non scrivi nulla! Il perchè è tra l'altro evidente, se ti guardi un po in giro: metà dei msg postati in questa sezione sono inutili, i tuoi in primis.

[karlosson_sul_tetto]

...











Scusa,ma questo forum non è stato anche per imparare?

[Giuseppe R]

Spero sia giusta...

Cerco di dimostrare che oltre a x=1 e y qualsiasi non ho altre soluzioni.
Per ogni x dispari ho $ 2^{x-1}\equiv1 \pmod6 $ e $ 3^{y-1}\equiv3 \pmod6 $ Quindi cerco dei numeri naturali a,b tali che $ 6a+1 \mid 6b+3 $ e se esistone delle a,b siffatte allora potrebbero esistere delle soluzioni poiche l'insieme delle soluzioni S dell'equazione iniziale é sottoinsieme dell'insieme W delle soluzioni della seconda equazione. Ma 6b+3 = 3(2b+1) e poiché 6a+1 non divide 3, tranne nel caso a=0 che implica x=1 (gia scritto sopra). Pertanto $ 6a+1 \mid 2b+1 $. Quindi $ k(6a+1)=2b+1 $ per qualche k. Quindi $ k\equiv2b+1 \pmod6 $ Segue che k è della forma 6n+2b+1 con n naturale. Sviluppo l'equazione che ora diventa:
$ (6n+2b+1)(6a+1)=2b+1 $
$ 36an+6n+12ab+2b+6a+1=2b+1 $
$ 6(6an+n+2ab+a)+(2b+1)=2b+1 $
Quindi, se semplifico da ambo le parti 2b+1 e divido per 6 ottengo:
$ 6an+n+2ab+a=0 $
$ n(6a+1)+a(2b+1)=0 $
Poiché a e b sono naturali ho necessariamente n=0 e a=0, quindi l'unica soluzione è:
$ 2^{x-1}=1 $ quindi x=1 e y qualunque.
CVD

[Reginald]

Quindi $ k\equiv2b+1 \pmod6 $ Segue che k è della forma 6n+2b+1 con n naturale.

...no, n non è necessatiamente naturale, perchè non sei sicuro che 2b+1 sia un rappresentante privilegiato modulo 6(anzi, non lo è di sicuro naturale...è negativo o nullo per il fatto che $ k|2b+1 $ e quindi k<2b+1)...per esempio $ 5\equiv 13\pmod 2 $, ma 5 non è uguale a 2m+13 se m è naturale.....inoltre neanche le soluzioni che hai dato sono corrette: $ 2^3-1|(3^3+1)\implies 2^3-1|(3^3+1)(3^3-1) $..

[Giuseppe R]

Quindi $ k\equiv2b+1 \pmod6 $ Segue che k è della forma 6n+2b+1 con n naturale.

...no, n non è necessatiamente naturale, perchè non sei sicuro che 2b+1 sia un rappresentante privilegiato modulo 6(anzi, non lo è di sicuro naturale...è negativo o nullo per il fatto che $ k|2b+1 $ e quindi k<2b+1

Ma $ 6a+1 \equiv1 \pmod6 $

[jordan]

@Giuseppe, guarda la tua "dimostrazione": solo dalla relazione 6a+1|2b+1 vorresti dedurre una contraddizione. Ti pare possibile?
@Karlosson: Appunto!!

[karlosson_sul_tetto]

Appunto!

Quindi io ho chiesto per imparare!