Sulla strada per Cesanatico

[massiminozippy]

La gara è ormai prossima, e bisogna arrivarci preparati.
<BR>Incominciamo subito a lavorarci su.
<BR>
<BR>Il primo problema che propongo è questo.
<BR>
<BR>Sia a un parametro reale e sia f una funzione definita da
<BR>(a – x) f (x – a) + f (a – x) = a – x, per ogni x appartenente ad R.
<BR>Determinare f.
<BR>
<BR>
<BR>

[Fede_HistPop]

Sei già sicuro di esserti qualificato per Cesenatico?

[massiminozippy]

Lo dico per gli altri non per me.
<BR>Io sono sicuro di non essermi qualificato.

[Fede_HistPop]

Siamo in due. Purtroppo ce l\'ho fatta solo 3 anni fa...

[ale86]

mi aggrego al clan.... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
<BR>\"determinare f\"= esiste una sola f con quelle caratteristiche, e non c\'è bisogno che lo dimostri, basta che la trovi? Ovviamente no, altrimenti sarebbe troppo facile, giusto?

[massiminozippy]

Giusto.
<BR>

[ma_go]

Beh, visto che nessuno si fa vivo...
<BR>
<BR>Sia y = a-x.
<BR>L\'equazione diventa allora in questa forma:
<BR>yf(-y)+f(y) = y
<BR>ma essa è valida per ogni y, per cui è valida per un certo t e per il suo opposto, -t.
<BR>Abbiamo quindi un sistema:
<BR>{ tf(-t)+f(t) = t
<BR>{ -tyf(t)+f(-t) = -t.
<BR>Per t =/= 0 possiamo moltiplicare ambo i membri della seconda equazione per -t, dopodiché sommiamo le due equazioni menmbro a membro e otteniamo:
<BR>f(t) = (t+t^2)/(1+t^2), per t =/= 0
<BR>Ma sostituendo nella prima equazione a y 0 otteniamo f(0) = 0, per cui possiamo dire che f(x) = (x+x^2)/(1+x^2) per ogni x reale.
<BR>
<BR>ps: scusate i cambi di variabile...

[massiminozippy]

Esatto Ma_go.
<BR>
<BR>Sostituendo x con a – x si ottiene
<BR>x f ( – x) + f (x) = x,
<BR>e sostituendo in questa x con –x:
<BR>–x f ( x) + f (–x) = –x.
<BR>Si ricava ora f (–x), da questa:
<BR>f (–x) = x f ( x)– x
<BR>e si sostituisce nella precedente:
<BR>x^2f(x)-x^2+f(x)=x
<BR>Da qui il risultato desiderato.

[massiminozippy]

Il secondo problema è questo.
<BR>
<BR>Dimostrare, che con banconote (virtuali) da 3 euro e con banconote da 5 euro, è possibile cambiare una qualsiasi somma di n euro, con n = 8, 9, ...
<BR>Piuttosto facile.

[Fede_HistPop]

C\'è tale e quale sugli esercizi di preparazione del team neozelandese (del 1997 se non erro) per l\'IMO. Solo erano cent, non Euro. Si dimostra per induzione, ma lascio la risposta ad un\'altro (dato che il problema lo conosco già).
<BR>
<BR>massiminozippy, non è che sei stato alle giornate di preparazione dove vengono scelti i giovani (2° e 3°) con i risultati migliori. Ovvero Gaeta 1999, Torino (e qualcos\'altro) 2000, ... (io ero a Torino 2000 ed ho ricevuto lì il librone dove ci sono i preparatori per la NZ)?

[ale86]

Ehm... sono io che non ho capito il secondo oppure è proprio la versione più facile del problema che c\'era ad archimede?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ale86 il 07-03-2003 18:42 ]

[Fede_HistPop]

No, è molto più semplice!
<BR>E\' quasi come l\'ultimo dei giochi di Archimede di Novembre (triennio). Quello degli Orue.

[ale86]

E io cosa ho detto?
<BR>Cmq mi ero trovato una formula per trovare il massimo numero non trovabile con somme di 2 valori dati ed era ab-(a+b).
<BR>Ne avevo anche trovata una che funzionava con alcuni casi si 3 valori, ma mi sono sempre dimenticato di giustificarla. Ora la vado a scovare.

[Fede_HistPop]

Scusa, pensavo intendessi il topic di Colin chiamato \"archimede\"!

[oscar]

Mi sembra facile.
<BR>8=3+5;
<BR>9=3+3+3;
<BR>10=5+5;
<BR>11=8+3;
<BR>12=9+3;
<BR>13=10+3;
<BR>14=8+5;
<BR>15=9+5;
<BR>16=10+5;
<BR>17=14+3;
<BR>18=15+3...
<BR>Devo continuare o il metodo si é capito?
<BR>La dimostrazione formale peró non la so fare...
<BR>O meglio nn ne ho voglia... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">