Abbiamo a, b interi positivi primi fra loro. Qual è il massimo valore che può assumere il M.C.D. fra $ (a+b)^4 $ e $ a-b $?
Grazie in anticipo
Feb 2005 (10)
Bè, sicuramente l'MCD deve essere $ \leq \text{min}\{(a+b)^4;(a-b)\} $, cioè $ \leq (a-b) $.
Ora, basta prendere un esempio a caso come $ (a,b)=(5:1)\longrightarrow 5-1=4|(5+1)^4=2^4\cdot3^4 $, e vedere che il valore massimo che può assumere l'MCD al variare di a,b è proprio $ (a-b) $.
Spero di non avere frainteso il testo...
Ora, basta prendere un esempio a caso come $ (a,b)=(5:1)\longrightarrow 5-1=4|(5+1)^4=2^4\cdot3^4 $, e vedere che il valore massimo che può assumere l'MCD al variare di a,b è proprio $ (a-b) $.
Spero di non avere frainteso il testo...
"[L'universo] è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche; [...] senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." Galileo Galilei, Il saggiatore, 1623
[tex] e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta[/tex]
[tex] e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta[/tex]
La risposta è un numero finito intero, che non dipende nè da a nè da b. Potresti giustificare le conclusioni dei due casi che hai considerato???Pigkappa ha scritto:Se si chiede il massimo al variare di a e b, è chiaro che non esiste, perchè quel MCD può andare all'infinito.
Se sono fissati a e b, quell'MCD è fissato e quindi ha poco senso chiedersi qual è il suo massimo.
Scherzavo, la risposta è $ 16 $ . 
$ a-b|(a+b)^4=[(a-b)+2b]^4\Leftrightarrow a-b|2^4b^4 $
Quindi a e b devono avere la stessa parità, ma poichè sono primi tra loro devono essere dispari. Quindi la massima potenza di 2 che divide $ a-b $ può essere $ 2^4 $. Se poi $ a-b $ avesse un fattore diverso da 2 nella sua scomposizione, allora questo fattore che divide $ a-b $ dovrebbe anche dividere $ b^4 $, ma quindi divide $ b $ e dovrebbe anche dividere $ a $, assurdo per l'ipotesi che $ (a,b)=1 $ . (Esempio: $ a=19 , \ b=3 $ )
$ a-b|(a+b)^4=[(a-b)+2b]^4\Leftrightarrow a-b|2^4b^4 $
Quindi a e b devono avere la stessa parità, ma poichè sono primi tra loro devono essere dispari. Quindi la massima potenza di 2 che divide $ a-b $ può essere $ 2^4 $. Se poi $ a-b $ avesse un fattore diverso da 2 nella sua scomposizione, allora questo fattore che divide $ a-b $ dovrebbe anche dividere $ b^4 $, ma quindi divide $ b $ e dovrebbe anche dividere $ a $, assurdo per l'ipotesi che $ (a,b)=1 $ . (Esempio: $ a=19 , \ b=3 $ )
"[L'universo] è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche; [...] senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." Galileo Galilei, Il saggiatore, 1623
[tex] e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta[/tex]
[tex] e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta[/tex]
Risposta esatta, Davide90, ma mi spiegheresti perchè $ a-b|(a+b)^4 $? E come fai ad arrivare a dire che la massima potenza di 2 che divide $ a-b $ deve essere proprio 16???Davide90 ha scritto:$ a-b|(a+b)^4=[(a-b)+2b]^4\Leftrightarrow a-b|2^4b^4 $
Quindi a e b devono avere la stessa parità, ma poichè sono primi tra loro devono essere dispari. Quindi la massima potenza di 2 che divide $ a-b $ può essere $ 2^4 $.
Grazie e complimenti
Mi ero perso il "primi fra loro".SARLANGA ha scritto:Pigkappa ha scritto: La risposta è un numero finito intero, che non dipende nè da a nè da b. Potresti giustificare le conclusioni dei due casi che hai considerato???
Comunque quando posti un problema cerca di essere chiaro. Non credo che il testo originale dicesse "abbiamo due interi positivi a e b", che non si capisce cosa vuol dire (io lo interpreterei come "fissati due interi positivi a e b"...).
No, non significa necessiamente che sono fissati: ti indica piuttosto il dominio a cui appartengono. Ulteriori precisazione vengono eventualmente apposte in seguito. PK intendeva che la frase "Abbiamo etc." è ambigua nel senso che può far pensare che i numeri ci vengano forniti da terzi e quindi siano fissi.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
Sì, quello che ho scritto è un po' impreciso, facevo riferimento alla prima riga di quello che ho scritto nel primo post...SARLANGA ha scritto:Risposta esatta, Davide90, ma mi spiegheresti perchè $ a-b|(a+b)^4 $? E come fai ad arrivare a dire che la massima potenza di 2 che divide $ a-b $ deve essere proprio 16???
Grazie e complimenti
Poichè $ (a+b)^4=[(a-b)+2b]^4\equiv (2b)^4 \pmod {a-b} $ , allora l' MCD tra $ a-b $ e $ (a+b)^4 $ divide anche il resto della divisione del secondo per il primo, cioè $ 16b^4 $ .
Dalla congruenza trovata si vede che $ a-b $ è pari, quindi a e b hanno la stessa parità, dunque sono dispari. Quindi il massimo esponente con cui il 2 compare nella scomposizione dell'MCD è 4, perchè in b non ci possono essere altri fattori 2.
"[L'universo] è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche; [...] senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." Galileo Galilei, Il saggiatore, 1623
[tex] e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta[/tex]
[tex] e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta[/tex]