Udine 2009

[eli9o]

Mostrare che $ |\sin(nx)|\leq n\sin x $ per ogni $ 0\leq x \leq\pi $

[Ani-sama]

Carino! Provate ad esempio così (suggerimento).

[dario2994]

Ho seguito il suggerimento ma ci sono ottime possibilità che abbia toppato lo stesso xD
Induzione su n con x fissato:
Passo base: n=1 $ |sin(x)|\leq sin(x) $ ch è ovviamente vero dato che vale l'uguaglianza essendo sin(x) positivo (per il bound messo per ipotesi)
Passo induttivo: $ |\sin((n+1)x)|=|\sin(nx+x)|=|\sin(nx)\cos(x)+\sin(x)\cos(nx)| $
Inoltre so:
$ |sin(nx)|\leq n\sin(x) $
E dato che cos(x) è sicuramente minore di 1 ottengo:
$ |\sin(nx)\cos(x)|\leq |sin(nx)|\leq n\sin(x) $
E perciò elimino entrambi i termini ottenendo:
$ |sin(x)cos(nx)|\leq sin(x) $
Divido per sin(x) che è sicuramente positivo e ottengo:
$ |cos(nx)|\leq 1 $
Che è vero :)

[Haile]

Per Udine 2009 si intende la prova d'ammissione?

Allora è proprio vero che buona parte dei problemi di tali prove è riciclata

[eli9o]

@ dario2994: secondo me non hai toppato

Sì, è la prova di ammissione di 2 giorni fa. Pensa che l'ultimo problema di fisica era un SNS

[Ani-sama]

Ho seguito il suggerimento ma ci sono ottime possibilità che abbia toppato lo stesso xD
Induzione su n con x fissato:
Passo base: n=1 $ |sin(x)|\leq sin(x) $ ch è ovviamente vero dato che vale l'uguaglianza essendo sin(x) positivo (per il bound messo per ipotesi)
Passo induttivo: $ |\sin((n+1)x)|=|\sin(nx+x)|=|\sin(nx)\cos(x)+\sin(x)\cos(nx)| $[...]

Fin qua tutto bene.

Inoltre so:
$ |sin(nx)|\leq n\sin(x) $
E dato che cos(x) è sicuramente minore di 1 ottengo:
$ |\sin(nx)\cos(x)|\leq |sin(nx)|\leq n\sin(x) $
E perciò elimino entrambi i termini ottenendo:
$ |sin(x)cos(nx)|\leq sin(x) $
Divido per sin(x) che è sicuramente positivo e ottengo:
$ |cos(nx)|\leq 1 $
Che è vero

Qui però non mi sembra tornare, oppure torna ma comunque dovresti sforzarti a scriverlo in modo più chiaro perché così ci capisco un po' poco... Comunque, c'è un modo semplice di concludere dall'ultimo "punto buono" a cui eri giunto (suggerimento).

[dario2994]

Riscrivo la dimostrazione perchè era mucho contorta:

Induzione su n con x fissato:
Passo base: n=1 $ |sin(x)|\leq sin(x) $ ch è ovviamente vero dato che vale l'uguaglianza essendo sin(x) positivo (per il bound messo per ipotesi)
Passo induttivo:
$ |\sin((n+1)x)|=|\sin(nx+x)|= $
$ =|\sin(nx)\cos(x)+\sin(x)\cos(nx)|\leq |sin(nx)+sin(x)| \leq n\sin(x)+\sin(x) $
L'ultima disuguaglianza deriva dal passaggio precedente d'induzione. Il passaggio centrale è dato dalle formule di addizione.

[Ani-sama]

[...]$ =|\sin(nx)\cos(x)+\sin(x)\cos(nx)|\leq |sin(nx)+sin(x)| \leq n\sin(x)+\sin(x) $
L'ultima disuguaglianza deriva dal passaggio precedente d'induzione. Il passaggio centrale è dato dalle formule di addizione.

In realtà è il passaggio centrale a essere critico. Sembra che tu abbia usato una cosa del genere: $ |ab + cd| \leq |a+c| $ se $ b,d \leq 1 $. Il che però è falso! Attenzione a quei moduli, insomma...

[eli9o]

Andava bene prima dove i moduli erano divisi pezzo per pezzo; sfruttando i risultati che hai ottenuto tu potevi ricostruire così:
$ |\sin(nx+x)|=|\sin(nx)\cos(x)+\sin(x)\cos(nx)|\leq|\sin(nx)\cos(x)|+|sin(x)\cos(nx)|\leq|\sin(nx)|+\sin(x)\leq n\sin(x)+\sin(x) $

[didudo]

pari pari

[dario2994]

Capito l'errore :)
Non sapevo che con disuguaglianza triangolare intendessi:
$ |a+b|\leq|a|+|b| $