Sia $ s(x) $ la somma delle cifre di $ x \in \mathbb{N}_0 $.
Problema. Esiste un $ k \in \mathbb{R} $ tale che $ s(n)<ks(n^2) $ per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $?
s(n)<ks(n^2),con s(.) somma delle cifre
s(n)<ks(n^2),con s(.) somma delle cifre
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Per riprendersi da un esame non troppo felice...
Prendiamo $ \displaystyle n=\sum_{i=1}^m10^{2^i} $. Allora $ \displaystyle n^2=\sum_{i=1}^m10^{2^{i+1}}+2\sum_{i<j}10^{2^i+2^j} $
Dato che $ 2^a+2^b\neq2^c+2^d $ per $ (a,b)\neq(c,d) $ eventualmente riordinate ogni termine della seconda sommatoria ha numero diverso di cifre. Così sommando i termini non ci sono problemi di riporti. Dato che non ci sono riporti possiamo calcolare $ s(n^2) $ sommando la somma delle cifre di ogni addendo.
Quindi $ s(n)=m $ e $ s(n^2)=m+2\binom{m}{2}=m^2 $.
Non esiste dunque un $ k\in\mathbb{R} $ tale che $ s(n)<ks(n^2) $ per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $
Prendiamo $ \displaystyle n=\sum_{i=1}^m10^{2^i} $. Allora $ \displaystyle n^2=\sum_{i=1}^m10^{2^{i+1}}+2\sum_{i<j}10^{2^i+2^j} $
Dato che $ 2^a+2^b\neq2^c+2^d $ per $ (a,b)\neq(c,d) $ eventualmente riordinate ogni termine della seconda sommatoria ha numero diverso di cifre. Così sommando i termini non ci sono problemi di riporti. Dato che non ci sono riporti possiamo calcolare $ s(n^2) $ sommando la somma delle cifre di ogni addendo.
Quindi $ s(n)=m $ e $ s(n^2)=m+2\binom{m}{2}=m^2 $.
Non esiste dunque un $ k\in\mathbb{R} $ tale che $ s(n)<ks(n^2) $ per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $
Ultima modifica di eli9o il 01 set 2009, 11:01, modificato 3 volte in totale.
Hypotheses non fingo
eli9o ha scritto:Quindi $ s(n)=m $ e $ s(n^2)=m+2\binom{m}{2}=m^2 $.
Non esiste dunque un $ k\in\mathbb{R} $ tale che $ s(n)<ks(n^2) $ per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $
Il nesso? 
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
Allora non era solo una mia impressione...julio14 ha scritto:Credo che intenda che $ $m^2\ge m $ con k=1, quindi hai solo fornito infiniti esempi del fatto che è possibile che esista.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
@ Jordan: non vuoi per caso che si trovi il minimo $ k $ tale che etc.? Trovarne uno che vada bene senza altre restrizioni non è molto difficile, mi pare.
EDIT: igniorate questo messaggio...
EDIT: igniorate questo messaggio...
Ultima modifica di FeddyStra il 09 set 2009, 14:29, modificato 1 volta in totale.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
149, 549, 1049, 1490, 3899, 4499, 4799, 4899, 5490, etc...Richard ha scritto:Scusa, jordan, ma tu sai di un $ n $ per cui $ s(n) \geq 2s(n^2) $ ?
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]