SNS 2006/2007 n 5

[mrossi]

Un test di matematica è costituito da dieci quiz a risposta “sì” o “no”. Ogni risposta corretta vale 1, ogni risposta errata vale −1, ogni risposta omessa vale 0. Il test superato se si raggiunge un totale di 6.
(i) Qual è la probabilità che, dando dieci risposte a caso, si fornisca la
risposta corretta esattamente a otto domande?
(ii) Qual è la probabilità che, dando dieci risposte a caso, si superi il
test?
(iii) Qual è la probabilità che, conoscendo la risposta corretta a quattro
domande, e rispondendo a caso a quattro delle rimanenti sei, si
superi il test?

Domanda sul testo... Ma nei punti (i) e (ii), si intende dando risposta Si/No, quindi non omettendo la risposta? Non basta applicare la formula delle prove ripetute?

[fede90]

i) $ $p=\binom{10}{8}\cdot \Big(\frac{1}{2}\Big)^{10}$ $

ii) Se rispondo giusto a k domande e sbagliato a 10-k domande ottengo $ $k-(10-k)=2k-10$ $ punti. Il punteggio deve essere maggiore o uguale a 6, quindi $ $2k-10\geq 6 \Rightarrow k\geq 8$ $. Perciò $ $p=\Big(\frac{1}{2}\Big)^{10} \cdot \Big[\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}\Big]$ $

iii) Questa volta ho $ $k-(4-k)\geq 2 \Rightarrow k\geq 3$ $ cioè devo rispondere giusto ad almeno 3 domande su 4. Quindi $ $p=\Big(\frac{1}{2}\Big)^{4} \cdot \Big[\binom{4}{3}+\binom{4}{4}\Big]$ $

[mrossi]

Si si ho fatto così anch'io, però mi sembrava troppo facile così, quindi pensavo che intendesse con il "rispondere a caso" anche la risposta in bianco.

[Emperorius]

i) $ $p=\binom{10}{8}\cdot \Big(\frac{1}{2}\Big)^{10}$ $

ii) Se rispondo giusto a k domande e sbagliato a 10-k domande ottengo $ $k-(10-k)=2k-10$ $ punti. Il punteggio deve essere maggiore o uguale a 6, quindi $ $2k-10\geq 6 \Rightarrow k\geq 8$ $. Perciò $ $p=\Big(\frac{1}{2}\Big)^{10} \cdot \Big[\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}\Big]$ $

iii) Questa volta ho $ $k-(4-k)\geq 2 \Rightarrow k\geq 3$ $ cioè devo rispondere giusto ad almeno 3 domande su 4. Quindi $ $p=\Big(\frac{1}{2}\Big)^{4} \cdot \Big[\binom{4}{3}+\binom{4}{4}\Big]$ $

Se nell'ultimo punto sbagli le restanti ultime due domande del test, soltanto se fai giuste tutte e quattro quelle a caso puoi passare l'esame. Per essere quindi "sicuri" di passare il testo bisogna fare giuste tutte le risposte a caso. Allora la probabilità diminuisce di un po.

[atat1tata]

Domanda sul testo... Ma nei punti (i) e (ii), si intende dando risposta Si/No, quindi non omettendo la risposta? Non basta applicare la formula delle prove ripetute?

Ma anche nel punto iii, non capisco,

[Maioc92]

qualcuno ha la soluzione ufficiale per sapere se effettivamente va interpretato cosi? Per essere il numero 5 cosi sembra un po' troppo facile in effetti

[fede90]

Se nell'ultimo punto sbagli le restanti ultime due domande del test, soltanto se fai giuste tutte e quattro quelle a caso pui passare l'esame. Per essere quindi "sicuri" di passare il testo bisogna fare giuste tutte le risposte a caso. Allora la probabilità diminuisce di un po.

(iii) Qual è la probabilità che, conoscendo la risposta corretta a quattro
domande, e rispondendo a caso a quattro delle rimanenti sei, si
superi il test?

Vuol dire che le ultime due le lasci in bianco, e che quindi ti danno in ogni caso 0 punti.