Dato il sistema
x1+x2+...+x100 = 5050
(x_k)^2- (x_{k-1})^2 = 2k-1 per k = 2, 3, ..., 100,
trovare tutte le soluzioni x1, x2, ...,x100 non negative.
SNSP 1990-91 pr. 3
vedi qua:Noemi91x ha scritto:è solo questo il testo?
http://download.sns.it/proveesame/matm_all.pdf
non so se sia giusto...cmq ci provo..
allora ,possiamo scrivere
x^{2}_{k}- x^{2}_{1}= (x^{2}_{k}- x^{2}_{k-1})+ x^{2}_{k-1}- x^{2}_{k-2}+ x^{2}_{k-2}- x^{2}_{k-3}+......+ x_{1}
Sostituendo con i corrispettivi valori,avresti : $ x^{2}_{k}- x^{2}_{1}=(2k-1)+(2k-3)+(2k-5)+...+3 = 2(k-1)[(2k-1)+3]= k^{2}-1
da cui x_k= sqrt (k^2 -1 +x_1)
e come puoi verificare nn ci sono altre soluzioni oltre x_1=1
allora ,possiamo scrivere
x^{2}_{k}- x^{2}_{1}= (x^{2}_{k}- x^{2}_{k-1})+ x^{2}_{k-1}- x^{2}_{k-2}+ x^{2}_{k-2}- x^{2}_{k-3}+......+ x_{1}
Sostituendo con i corrispettivi valori,avresti : $ x^{2}_{k}- x^{2}_{1}=(2k-1)+(2k-3)+(2k-5)+...+3 = 2(k-1)[(2k-1)+3]= k^{2}-1
da cui x_k= sqrt (k^2 -1 +x_1)
e come puoi verificare nn ci sono altre soluzioni oltre x_1=1
sccome non ci capisco niiente psto qualcosa anh'io:
intanto si noti come $ x_k=k $ è soluzione del sistema,infatti;
$ k^2-(k-1)^2=2k-1 $ e $ 1+2+...+100=100*101/2=5050 $, inoltre la successione è crescente siccome $ x_k>=0 e x_k^2>x_{k-1}^2 $ i termini nn possono essere irrazionali,perchè una somma di irrazionali da un irrazionale (direi) mentre 5050 è intero.quindi $ x_k $ può essere scritto come a/b e $ x_{k+1} $ come c/d, con a,b,c,d naturali e $ (a,b)=1 (c,d)=1 $.$ (a/b-c/d)(a/b+c/d)=2k-1 $ quindi $ a^2d^2-c^2b^2=(2k-1)b^2d^2 $ cioè $ b^2 $ divide $ a^2d^2 $ e $ b $ divide $ d $.con lo stesso ragionamento d divide b,cioè $ b=d $ quindi abbiamo quindi se gli x fossero razionali avrebbero tutti lo stesso denominatore b e numeratore $ a_k $ tc$ (a_k,b)=1 $ sommando fradi loro le varie equazioni del sistema si nota che $ x_m^2-x_n^2=j $con $ 0<n<m<101 ,m,n,j $naturali. ma per quanto detto prima $ a_m^2-a_n^2=(2k-1)b^2 $ e perciò $ b $ divide $ a_m+a_n $ o $ b $ divide $ a_m-a_n $ cioè $ a_m \equiv +o-a_n \pmod{b^2} $ e questo non può avvenire a coppie a due a due disgiunte di 100 termini,a meno che $ a_k \equiv -a_k \pmod{b^2} $ per qualunque 0<k<101 ,che vale solo per b=1,quindi $ x_k $ è intero maggiore o uguale a zero.quindi la soluzione $ x_k=k $ è unica. troppo lungo?beh,non avete mai parlato con mio nonno.
intanto si noti come $ x_k=k $ è soluzione del sistema,infatti;
$ k^2-(k-1)^2=2k-1 $ e $ 1+2+...+100=100*101/2=5050 $, inoltre la successione è crescente siccome $ x_k>=0 e x_k^2>x_{k-1}^2 $ i termini nn possono essere irrazionali,perchè una somma di irrazionali da un irrazionale (direi) mentre 5050 è intero.quindi $ x_k $ può essere scritto come a/b e $ x_{k+1} $ come c/d, con a,b,c,d naturali e $ (a,b)=1 (c,d)=1 $.$ (a/b-c/d)(a/b+c/d)=2k-1 $ quindi $ a^2d^2-c^2b^2=(2k-1)b^2d^2 $ cioè $ b^2 $ divide $ a^2d^2 $ e $ b $ divide $ d $.con lo stesso ragionamento d divide b,cioè $ b=d $ quindi abbiamo quindi se gli x fossero razionali avrebbero tutti lo stesso denominatore b e numeratore $ a_k $ tc$ (a_k,b)=1 $ sommando fradi loro le varie equazioni del sistema si nota che $ x_m^2-x_n^2=j $con $ 0<n<m<101 ,m,n,j $naturali. ma per quanto detto prima $ a_m^2-a_n^2=(2k-1)b^2 $ e perciò $ b $ divide $ a_m+a_n $ o $ b $ divide $ a_m-a_n $ cioè $ a_m \equiv +o-a_n \pmod{b^2} $ e questo non può avvenire a coppie a due a due disgiunte di 100 termini,a meno che $ a_k \equiv -a_k \pmod{b^2} $ per qualunque 0<k<101 ,che vale solo per b=1,quindi $ x_k $ è intero maggiore o uguale a zero.quindi la soluzione $ x_k=k $ è unica. troppo lungo?beh,non avete mai parlato con mio nonno.
pensavo fosse il forum "belli e abbronzati"....
ecco la soluzione di noemi tradotta in latex....cosi è più comprensibile
che direi è anche correttanoemi91x ha scritto: $ x^{2}_{k}- x^{2}_{1}= (x^{2}_{k}- x^{2}_{k-1})+ x^{2}_{k-1}- x^{2}_{k-2}+ x^{2}_{k-2}- x^{2}_{k-3}+......+ x_{1}^2 $
Sostituendo con i corrispettivi valori,avresti :$ $ x^{2}_{k}- x^{2}_{1}=(2k-1)+(2k-3)+(2k-5)+...+3 = 2(k-1)[(2k-1)+3]= k^{2}-1 $
da cui $ x_k= \sqrt {k^2 -1 +x_1^2} $
e come puoi verificare nn ci sono altre soluzioni oltre $ x_1=1 $
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
ciao elio!!!In effetti è quello il modo in cui si dovrebbe concludere che $ x_1=1 $ è l'unica soluzione anche con il modo di noemi (che ha reso esplicita la dipendenza). Da questo passaggio direi che non si scappa 
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!