NEONEO ha scritto:[...] non si può semplicemente dire che in quanto R(f(x))=R(g(x)) per ogni valore che io attribuisco a x, allora se io attibuisco a x i valori per cui R(x) è iniettivo implica che f(x)=g(x), e questo accade per infiniti x.
Sì. Il punto è dimostrare che a) R è iniettivo su un insieme S di infiniti punti; b) f e g assumono valori in S per infiniti $ x \in \mathbb{R} $. Mi permetto in merito di autoquotarmi:
HiTLeuLeR ha scritto:quantico_reloaded ha scritto:Siano $ f,g,h $ polinomi a coefficienti reali in una variabile tali che i) f e g siano non costanti; ii) h abbia grado dispari e iii) h(f(x)) = h(g(x)), per ogni $ x \in \mathbb{R} $. Mostrare che allora f = g.
Per via della ii), esiste k > 0 tale che h è iniettivo in $ S = \{x \in \mathbb{R}: |x| > k\} $. Pertanto è implicato dalla iii) che f = g in $ T = \{x \in \mathbb{R}: \max(|f(x)|,|g(x)|) > k\} $. Senonché T è un insieme infinito, per via della i), e di conseguenza f = g in tutto R.
L'ipotesi che R abbia grado dispari è perciò fondamentale!