i, brutti scherzi?

[exodd]

oggi stavo facendo dei calcoli con i complessi, e mi è capitato di dover calcolare $ 1/i $
essendo$ \sqrt{1/-1}=\sqrt{-1} $, ho pensato che $ 1/i=i $, ma poi mi sono accorto che
$ 1=i*\frac{1}{i}=i*i=-1 $
com'è possibile?

[Tibor Gallai]

E' un paradosso ben noto, secondo me se lo cerchi sul forum o su google, trovi la spiegazione che ti serve.
Esempio: http://mathworld.wolfram.com/ComplexNumberParadox.html

[Enrico Leon]

$ \displaystyle{\frac{1}{i}=\frac{1}{i}\cdot\frac{i}{i}=\frac{i}{i^2}=-i} $
Quando hai un rapporto di numeri complessi, per riportarti alla forma normale $ a+ib $ basta moltiplicare e dividere per il coniugato del denominatore.

[fph]

Il motivo per cui il tuo conto non funziona è che il simbolo $ \sqrt{\cdot}\, $ è mal definito quando si lavora con i complessi, e non ci si può aspettare che valgano le solite proprietà (che usi intanto che "svolgi i conti").

[Tibor Gallai]

Namely, la proprietà distributiva rispetto alla moltiplicazione:

$ \sqrt{z \cdot w} = \sqrt z \cdot \sqrt w $.

Per farla valere devi trattare la radice quadrata come una cosa che restituisce 2 numeri complessi (opposti) invece che uno solo. Moltiplicare 2 coppie di complessi (nel membro a destra) significa moltiplicare un elemento della prima coppia con un elemento della seconda coppia in tutti i modi possibili, ottenendo così 4 complessi. Ma poiché gli elementi delle 2 coppie nel nostro caso sono opposti, questi 4 nuovi elementi sono coincidenti a coppie, e sono quindi in realtà solo 2. Ovvero, i 2 del membro a sinistra.

Dimostra quello che ho detto a parole, vedi come si applica al tuo paradosso, e sarai felice. Eh, a volte la felicità sta dietro l'angolo.

[Enrico Leon]

Eh, a volte la felicità sta dietro l'angolo.

E se è piatto...?