Densita` densa (own)

[Tibor Gallai]

Sono io che non capisco, veramente. Non ho capito la tua costruzione, proprio a livello di formule.
Puoi spiegarla in italiano?

In ogni caso, sono convinto che appena proverai a dimostrare che la tua costruzione funziona, troverai l'errore, qualunque esso sia.

[FeddyStra]

Credo che intenda questa operazione: quando si trova un $ x $ tale che $ \displaystyle\frac{c(x)}x>\alpha $, allora lo si butta via e poi si continua reiterando il procedimento. In questo modo vorrebbe sostenere che "alla fine" l'insieme ha densità $ \alpha $.
Purtroppo sorgono due problemi:
1) quando butti via un tale $ x $ nulla ti assicura che la lower densità continui a rimanere $ \alpha $ e per caso non diminuisca;
2) il procedimento non ha necessariamente termine (anzi, quasi mai).

[Tibor Gallai]

Beh, il (2) di per sé non è un problema, perché basta prendere l'intersezione di tutti gli (infiniti) S generati da ogni iterazione.
Il problema è soltanto che non puoi garantire che l'alfa dell'intersezione sia positivo e non 0, o addirittura che l'intersezione abbia una densità ben definita (col limite...).

[kn]

grazie, adesso ho capito
Però dobbiamo eliminare l'ipotesi che la lower densità possa essere un estremo superiore non maggiorante, quindi la definizione perde di nuovo senso

[Tibor Gallai]

Come esempio esplicito di S, consideriamo l'insieme dei naturali la cui espressione decimale comincia per 1. Allora la lower density di S è 1/9, ma nessun rapporto di elementi di S è compreso tra 2 e 5.

[Tibor Gallai]

Però dobbiamo eliminare l'ipotesi che la lower densità possa essere un estremo superiore non maggiorante, quindi la definizione perde di nuovo senso

Nuovamente, non capisco cosa vuoi dire.

[kn]

Il mio stupido ragionamento:
Supponiamo che S ammetta lower densità $ \displaystyle~\alpha $, con $ \displaystyle~\alpha $ maggiorante dei reali che rispettano la proprietà di edriv. Chiamiamo ora $ \displaystyle~c'(\cdot) $ la funzione $ \displaystyle~c(\cdot) $ riferita a S' (mentre $ \displaystyle~c(\cdot) $ la lasciamo riferita a S). $ \displaystyle~\forall y>x $ vale $ \displaystyle~c'(y)=c(y)-1 $, quindi $ \displaystyle~\frac{c'(y)}{y}=\frac{c(y)}{y}-\frac{1}{y}\ge \alpha-\frac{1}{y} $. Pertanto in S' la proprietà di edriv è soddisfatta da ogni $ \displaystyle~\alpha-\frac{1}{m} $, con $ \displaystyle~m\in\mathbb{N} $, e l'estremo superiore è $ \displaystyle~\alpha $. Quindi la lower densità è di nuovo $ \displaystyle~\alpha $.
Naturalmente questo discorso è sbagliato, perché non vale più alla prossima iterazione... (dato che $ \displaystyle~\alpha $ non è più maggiorante)

EDIT: @TG: ora i miei dubbi sono risolti e come ho scritto il mio ragionamento era errato (in poche parole... un delirio)

[Tibor Gallai]

Secondo me stiamo delirando sempre di più.

In questo modo hai dimostrato che il punto (1) di FeddyStra non può sussistere, se ho capito bene quel che dici. Buon per te, ma la cosa non risolve i dubbi di fondo: la definizione di edriv di lower density è ben posta, ed inoltre ogni insieme S ha una lower density ben definita, ma non necessariamente una densità ben definita (nel senso di stefanos). Se S ha una densità secondo stefanos, ha una lower density secondo edriv, e le due densità coincidono. In questo caso, se le densità sono positive, i rapporti di elementi di S sono densi in Q (claim). Se S non ha una densità secondo stefanos, può capitare che i rapporti non siano densi in Q, come dimostra il mio esempio qua sopra.

Tutti gli altri discorsi sono un delirio pazzesco, secondo me.

[Tibor Gallai]

Naturalmente questo discorso è sbagliato, perché non vale più alla prossima iterazione... (dato che $ \displaystyle~\alpha $ non è più maggiorante)

EDIT: @TG: ora i miei dubbi sono risolti e come ho scritto il mio ragionamento era errato (in poche parole... un delirio)

Allora, il motivo per cui parlavo di deliri sempre più contorti è questo: il ragionamento è giusto, è la conclusione che ne trai ad essere sbagliata. Sempre se capisco bene cosa sta succedendo...
In pratica, hai correttamente dimostrato (a meno di dettagli) che togliendo un numero finito di elementi da S, la sua densità non cambia, sia secondo stefanos che secondo edriv.
Quindi non puoi concludere alla fine che "non vale più alla prossima iterazione", o che "alfa non è più maggiorante" (quest'ultima cosa è doppiamente errata, probabilmente perché mal interpreti la definizione di maggiorante). L'unica cosa che puoi concludere è che il tuo algoritmo non può terminare con un numero finito di iterazioni.