Strano quadrato

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Premettendo che non ho la soluzione, ecco un quesito interessante:
 
 (x^2+y^2)/(1+xy)=N con x e y interi, se N è positivo, è un quadrato.
 
 Dimostratelo!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">

Squirtledgl · Messaggio da **Squirtledgl** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-02-28 16:04, EvaristeG wrote:
 Premettendo che non ho la soluzione, ecco un quesito interessante:
 
 (x^2+y^2)/(1+xy)=N con x e y interi, se N è positivo, è un quadrato.
 
 Dimostratelo!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> Per x=2 e y=3 non viene N= 13/7 ????? Che quadrato è?????
 Ci penserò con più calma senza assegnare valori arbitrari alle incognite però...???

Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

il luogo dei punti è un quadrato,non è N ad esserlo(ambiguo il testo cmq)

Squirtledgl · Messaggio da **Squirtledgl** » 01 gen 1970, 01:33

Era troppo facile infatti.......................................... <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
 Raga!!! DIMOSTRIAMO!!!

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

A me pare plausibile che la tesi sia (sulla scorta di un celebre IMO problem):
 Dimostrare che, posto (x^2+y^2)/(1+xy)=N, se x e y sono interi e N è un intero positivo, allora N è un quadrato perfetto.

Tassinari_Luca · Messaggio da **Tassinari_Luca** » 01 gen 1970, 01:33

Concordo pienamente con Lorenzo[a.u.c.e.c.l.s.u.p.r.],
 direi inoltre che, essendo il problema stato considerato tra i più difficili dati alle I.M.O. sino al 1988, si potrebbe dare un leggero imput per la sua risoluzione:
 se uno tra x e y è 0 allora N se è intero è ovviamente un quadrato perfetto.
 Allora si proceda in modo analogo alla discesa infinita tentando di trovare, dati (a,b,k) soluzioni dell\' equazione una terna \"inferiore\" che soddisfi anche essa l\' equazione ove però \"k\" permanga immutato.
 Good luck!
 Onde evitare che questi bei problemini (belli in quanto non sono stati tratti da manuali e sinora -in base alle mie conoscenze-non dispongono di una soluzione pubblicata)
 li ripropongo confidando in una estesa partecipazione al tentativo di risolverli:
 a)Dimostrare che n>=5 allora una scacchiera nxn è percorribile da un cavallo in modo tale che esso (muovendosi a L come il cavallo negli scacchi)
 passi sopra ogni casella esattamente una volta.
 b)Determinare gli (s,t) per i quali una scacchiera rettangolare di lati s,t è percorribile dal cavallo in modo che esso passi una sola volta su ogni casella.
 c)Nell\' a) si numeri la scacchiera con i numeri da 1 a n^2 partendo da in alto a destra e poi procedendo a serpentina.Si determinino in funzione di \"n\" quanti sono i modi (le sequenze permutazioni l\' una dell\' altra con almeno due punti non fissi) in cui il cavallo può espletare la sua funzione.
 d)Analogo per il b) solo in funzione di (s,t) questa volta.
 P.S.:La formula in c) e d) non deve necessariamente essere chiusa.
 Buon lavoro e rispondete numerosi!!
 Salve!
 (L\'a) ed il b)(anche se il b) un poco meno) risultano fattibili in modo piuttosto standard)
 Luca Tassinari
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Tassinari_Luca il 28-02-2003 21:00 ]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Davvero è un problema IMO? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> Giuro che non lo sapevo.
 Comunque si, se N è intero positivo, è anche quadrato, è quello che vuol dire il testo, credo.
 E poi, Luca, belli i problemi, ma che c\'azzeccano? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
 Piuttosto, nessuno ha una mezza idea su come dimostrare che quel coso, se naturale è un quadrato?

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

E\' opinione diffusa che si tratti del secondo problema più difficile della storia delle imo

Wilddiamond · Messaggio da **Wilddiamond** » 01 gen 1970, 01:33

E quale sarebbe il primo???

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

(pare)
 
 IMO 1996/5
 
 Sia ABCDEF un esagono convesso con i lati opposti paralleli, r_1, r_2, r_3 i raggi delle circonferenze circoscritte a FAB, BCD, DEF, p il perimetro dell\'esagono. Dimostrare che r_1+r_2+r_3 >= p/2

ale86 · Messaggio da **ale86** » 01 gen 1970, 01:33

A dire la verità non serve a molto da solo, però è carino:
 
 a^2=(a^2+a^6)/(a^4+1) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ale86 il 05-03-2003 20:38 ]

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

E per a dispari no?

ale86 · Messaggio da **ale86** » 01 gen 1970, 01:33

Ehm... sì, ma quando l\'ho scritto mi si deve essere momentaneamente spento il cervello.
 Ho già provveduto a correggere

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-03-05 00:13, DD wrote:
 (pare)
 
 IMO 1996/5
 
 Sia ABCDEF un esagono convesso con i lati opposti paralleli, r_1, r_2, r_3 i raggi delle circonferenze circoscritte a FAB, BCD, DEF, p il perimetro dell\'esagono. Dimostrare che r_1+r_2+r_3 >= p/2
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Mi sembra che non ci sia nulla di così complicato: con un po\' di trigonometria se ne dovrebbe venire a capo... Ci provo e poi ti dico!!
 Btw, visto che conoscevi già il problema del quadrato, conosci anche la soluzione? Son 15 giorni che ci litigo!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Evariste, la tua affermazione mi sembra un po\' forte...
 Tieni conto che è definito \"il più difficile\" poichè è il problema che ha trovato meno soluzioni perfette (da 7 punti, per capirci) nella storia delle IMO. Se si osserva che i concorrenti hanno 4 ore e mezza per risolvere 3 problemi, è evidente che la strada trigonometrica è fuori portata.