le cifre mancanti. parte 2.

[jordan]

Dato che $ 34! = 295232799cd96041408476186096435ab000000 $, trovare quali sono le cifre $ a, b, c, d $.


(British Mathematical Olympiad 2002/2003)

[Giuseppe R]

Intanto so che $ 34! $ ha 7 fattori 5, quindi $ b=o $.
Dato che $ 9 $ divide $ 34! $ ho che la somma delle cifre di $ 34! $ è divisibile per 9. Senza a,c,d è 142, quindi può essere:
144
153
162
Devo anche calcolare che $ 34! $ è divisibile per 11, quindi la differenza fra la somma delle sue cifre pari e dispari è divisibile per 11. Dato che qusta è 8, ho che:
$ d-c-a\equiv3 \pmod{11} $
Se la somma delle cifre di $ 34! $ è 144, ho a+c+d = 2, ma questo è assurdo per la congruenza modulo 11,
Se la somma delle cifre di $ 34! $ è 153,, ho a+c+d = 11 con $ a\not=0 $
quindi per d=7 ho 3 soluzioni:
a=1 c=3
a=2 c=2
a=3 c=1
Se la somma delle cifre di $ 34! $ è 162, ho a+c+d = 20
con d-(c+a) = 3
quindi d-3 = (a+c) che è impossibile per 20. Quindi mi riconduco al secondo caso:
Quindi d=7, a è necessariamente pari perchè $ 34! $ ha 31 fattori 2, cui ne tolgo 7 dei 7 zeri, quindi 24.

$ \Rightarrow a=2, b=0, c=2, d=7 $

Non so se l'ultimo passaggio è tanto corretto, potrei aver sbagliato (anzi, dovrei...)

EDIT: ho sbagliato a contare le cifre, fa 139, non 142 ....

[Francutio]

Intanto so che $ 34! $ ha 7 fattori 5, quindi $ b=o $.
Dato che $ 9 $ divide $ 34! $ ho che la somma delle cifre di $ 34! $ è divisibile per 9. Senza a,c,d è 142, quindi può essere:
144
153
162
Devo anche calcolare che $ 34! $ è divisibile per 11, quindi la differenza fra la somma delle sue cifre pari e dispari è divisibile per 11. Dato che qusta è 8, ho che:
$ d-c-a\equiv3 \pmod{11} $
Se la somma delle cifre di $ 34! $ è 144, ho a+c+d = 2, ma questo è assurdo per la congruenza modulo 11,
Se la somma delle cifre di $ 34! $ è 153,, ho a+c+d = 11 con $ a\not=0 $
quindi per d=7 ho 3 soluzioni:
a=1 c=3
a=2 c=2
a=3 c=1
Se la somma delle cifre di $ 34! $ è 162, ho a+c+d = 20
con d-(c+a) = 3
quindi d-3 = (a+c) che è impossibile per 20. Quindi mi riconduco al secondo caso:
Quindi d=7, a è necessariamente pari perchè $ 34! $ ha 31 fattori 2, cui ne tolgo 7 dei 7 zeri, quindi 24.

$ \Rightarrow a=2, b=0, c=2, d=7 $

Non so se l'ultimo passaggio è tanto corretto, potrei aver sbagliato (anzi, dovrei...)

Mmm b è sicuramente 0, e a è 2 perchè 35a è multiplo di 8.

Per gli altri due non ti so dire su due piedi, ma ad una somma rapida mi pare che la somma delle cifre senza a, c, d sia 139 non 142, ma potrei sbagliare ovviamente.

[Francutio]

somma cifre = $ 141+c+d \equiv 0 \pmod{9} \rightarrow c+d \equiv 3 \pmod{9} $

$ 80 + d - 61 - c \equiv 0 \pmod{11} \rightarrow d - c \equiv 3 \pmod{11} $


Da qui forse posso dire che

$ c +d \equiv d - c \equiv 3 \pmod{99} \Rightarrow 2d \equiv 6 \pmod{99} $

Ovviamete d è compreso tra 0 e 9, quindi l'unica possibilità è che d sia 3.
Analogamente si arriva a dire che c è 0

Quindi...

$ \Rightarrow a=2, b=0, c=0, d=3 $


Ma non so se il passaggio alla congruenza mod 99 sia buono....

[jordan]

Bravi, le idee le avete prese tutte

Qui il millesimo messaggio di Hitleuler..