Sia $ $f(x):\mathbb{R}\setminus\{0, 1\}\to\mathbb{R}$ $ una funzione che soddisfa, per ogni $ $x\in\mathbb{R}$ $, l'equazione
$ $f(x) + f\left(\frac{x-1}{x}\right) = 1+x.$ $
Trovare tutte le funzioni che soddisfano l'equazione funzionale.
Finalmente una soluzione originale!
Finalmente una soluzione originale!
Physics is like sex. Sure, it may give some practical results, but that's not why we do it.
Edriv: c=c+2; "tu sarai ricordato come `colui che ha convertito edriv alla fisica' ;)"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine sono macchine di Turing pure loro, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
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Tibor Gallai
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- Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12
Pongo $ x_1=x $ e $ x_{i+1}=\frac{x_i-1}{x_i} $; ottengo
$ x_2=\frac{x-1}x $, $ x_3=\dots=\frac{-1}{x-1} $, $ x_4=\dots=x $.
Sostituendo questi valori nella formula data:
$ f(x)+f(x_2)=1+x $
$ f(x_2)+f(x_3)=1+x_2 $
$ f(x_3)+f(x)=1+x_3 $
Sommo la prima e l'ultima e sottraggo la seconda:
$ 2f(x)=1+x+1+x_3-1-x_2 $
da cui, a calcoli fatti,
$ f(x)=\displaystyle \frac{x^3-x^2-1}{2x(x-1)} $
che, sostituita nella formula iniziale, dà un'identità.
$ x_2=\frac{x-1}x $, $ x_3=\dots=\frac{-1}{x-1} $, $ x_4=\dots=x $.
Sostituendo questi valori nella formula data:
$ f(x)+f(x_2)=1+x $
$ f(x_2)+f(x_3)=1+x_2 $
$ f(x_3)+f(x)=1+x_3 $
Sommo la prima e l'ultima e sottraggo la seconda:
$ 2f(x)=1+x+1+x_3-1-x_2 $
da cui, a calcoli fatti,
$ f(x)=\displaystyle \frac{x^3-x^2-1}{2x(x-1)} $
che, sostituita nella formula iniziale, dà un'identità.
Può essere interessante sapere che le equazioni funzionali del tipo:
$ \displaystyle f(Mx+N)+f(\frac{Px+Q}{Rx+S})=ax+b $
possono essere risolte con un procedimento del tutto generale
( anche se un po' faticoso nei calcoli).Precisamente si pone :
$ \displaystyle f(x)=\frac{A}{Mx+N}+\frac{Bx^2+Cx+D}{Px+Q} $
Sostituendo opportunamente nell'equazione ,tramite il principio d'identità
dei polinomi ( oppure dando alla variabile x valori particolari) è possibile
determinare le costanti A,B,C,D e quindi la funzione.
Per esempio nel caso in questione :
(1) $ \displaystyle f(x)+f(\frac{x-1}{x})=x+1 $
si deve porre :
(2) $ \displaystyle f(x)=\frac{A}{x}+\frac{Bx^2+Cx+D}{x-1} $
sostituendo la (2) nella (1) e riducendo a forma intera abbiamo:
(3) $ \displaystyle A(x-1)+x(Bx^2+Cx+D)+Ax^2-B(x-1)^3-Cx(x-1)^2-Dx^2(x-1)=x(x^2-1) $
Essendo la (3) intera ,invece di applicare il principio d'identità, possiamo dare ad x i valori -1,0,1,2 ricavando il sistema :
A-7B-5C-D=0
A-B=0
A+B+C+D=0
5A+7B+2C-2D=6
Che risolto dà :A=B=1/2;C=D=-1/2
Sostituendo nella (2) si ha:
$ \displaystyle f(x)=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2-x-1}{x-1}=\frac{x^3-x^2-1}{2x(x-1)} $
$ \displaystyle f(Mx+N)+f(\frac{Px+Q}{Rx+S})=ax+b $
possono essere risolte con un procedimento del tutto generale
( anche se un po' faticoso nei calcoli).Precisamente si pone :
$ \displaystyle f(x)=\frac{A}{Mx+N}+\frac{Bx^2+Cx+D}{Px+Q} $
Sostituendo opportunamente nell'equazione ,tramite il principio d'identità
dei polinomi ( oppure dando alla variabile x valori particolari) è possibile
determinare le costanti A,B,C,D e quindi la funzione.
Per esempio nel caso in questione :
(1) $ \displaystyle f(x)+f(\frac{x-1}{x})=x+1 $
si deve porre :
(2) $ \displaystyle f(x)=\frac{A}{x}+\frac{Bx^2+Cx+D}{x-1} $
sostituendo la (2) nella (1) e riducendo a forma intera abbiamo:
(3) $ \displaystyle A(x-1)+x(Bx^2+Cx+D)+Ax^2-B(x-1)^3-Cx(x-1)^2-Dx^2(x-1)=x(x^2-1) $
Essendo la (3) intera ,invece di applicare il principio d'identità, possiamo dare ad x i valori -1,0,1,2 ricavando il sistema :
A-7B-5C-D=0
A-B=0
A+B+C+D=0
5A+7B+2C-2D=6
Che risolto dà :A=B=1/2;C=D=-1/2
Sostituendo nella (2) si ha:
$ \displaystyle f(x)=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2-x-1}{x-1}=\frac{x^3-x^2-1}{2x(x-1)} $
Ultima modifica di karl il 19 giu 2009, 19:50, modificato 2 volte in totale.
(hai qualche bel pdf su funzionali simili?)Non sono un mod, ma ti do lo stesso il linkkarl ha scritto:Mi dispiace ma non ho materiale sull'argomento.Mi pare di ricordare però che sul forum circolavano (e circolano ,presumo) appunti molto ben fatti dell'utente fph.Giro la richiesta ai moderatori.Ciao.
Edoardo
Non che io sappia. Io mi riferivo alla funzione, che non è un classico x, x^2, o roba del genere xD
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Edriv: c=c+2; "tu sarai ricordato come `colui che ha convertito edriv alla fisica' ;)"
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