Integrali... definizione strana

[dario2994]

Alur oggi a scuola, su un banco ho iniziato a pensare agli integrali (sto in prima... non li conosco ancora...) e ragionandoci ho tirato una formula che sputa fuori l'integrale di qualunque funzione f(x)... dato che non sono sicuro della formula (dato che su internet non l'ho trovata...) ho deciso di postarla e di chiedere qui xD
$ $\int_{a}^{b}{f(x)}=\lim_{n\to \infty}{\frac{b}{n}\sum_{i=0}^{n}{f\left(\frac{i\cdot b}{n}\right )}-\frac{a}{n}\sum_{k=0}^{n}{f\left(\frac{k\cdot a}{n}\right )}}$ $
So che la formula non è esattamente corta... ma perfavore guardatela e ditemi se e dove è toppata... facendo delle prove con funzioni polinomiali semplici sembrerebbe "realistica" rispetto al grafico...

[SkZ]

all'incirca, l'idea e' quella. scritta meglio sarebbe
$ $\int_{a}^{b}{f(x)}\textrm{d}x=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n}f\left(a+\frac{i(b-a)}{n}\right )}\frac{b-a}{n} $
il simbolo di integrale sarebbe una S stilizzata di somma infinitesima

Questo se ben ricordo e' all'incirca la definizione di integrale di Reimann.
Piu' in specifico si effettua la somma non con f ma con una funzione a "supporto compatto" (o cosi'detta a gradoni: e' costante su intervalli). L'integrale di f e' il limite tra il massimo delle somme di funzioni a gradoni minori di f e il minimo di quelle maggiori di f.

[dario2994]

Grazie... ma una domanda:
Come si trasforma la mia definizione nella tua???

[Ani-sama]

[...]Piu' in specifico si effettua la somma non con f ma con una funzione a "supporto compatto" (o cosi'detta a gradoni: e' costante su intervalli).[...]

Le funzioni a supporto compatto si guardano bene dall'essere in generale funzioni a scala!

Comunque, così a occhio, quella formula (quella di SkZ, anzi) non fa altro che calcolare la somma delle aree dei rettangoli che hanno ciascuno per base un intervallino n-esimo di suddivisione di $ [a,b] $ e per altezza il valore assunto da $ f $ nel punto iniziale (o quello finale? mi sfugge) dell'intervallino. Mi sembra sensato che tale somma converga all'integrale di $ f $, se $ f $ è integrabile. (EDIT: avevo scritto cose un po' insensate)

[Tibor Gallai]

Grazie... ma una domanda:
Come si trasforma la mia definizione nella tua???

Non si trasforma con semplici passaggi algebrici, purtroppo.
Le due definizioni che date effettivamente si equivalgono nel caso tipico di funzioni continue, ma non in modo ovvissimo. A mio modo di vedere, la definizione di SkZ è più umanamente intuitiva, la tua un po' involuta.
Quello che mi insospettisce però è qualcos'altro: nelle tue definizioni non poni vincoli d'esistenza del limite, e sembrerebbe che tu voglia definire l'integrale per ogni funzione f. Questo mi suggerisce di consigliarti prima di tutto di avere chiara la definizione di limite, e tutta la teoria che tradizionalmente si fa precedere allo studio degli integrali di Riemann. In particolare, nota che i limiti non sempre esistono, e così pure gli integrali.
Tieni presente anche che la tua definizione NON equivale a quella standard di integrale di Riemann, poiché esistono casi in cui la tua è definita, e quella di Riemann no. Come conseguenza, esistono proprietà "desiderabili" degli integrali di Riemann che non sono vere per i tuoi integrali.
Ecco un esempio con cui ti puoi divertire:
f è la funzione che vale 0 sui razionali e 1 sugli irrazionali.
Quanto vale l'integrale di f da 0 a 1, secondo la tua definizione?
E quanto vale l'integrale di f da 0 a k, dove k è un irrazionale piccolo a piacere?
Noti una certa "dissonanza" tra i due risultati?

[Tibor Gallai]

vedere l'equivalenza tra quanto scritto da SkZ e quanto scritto da dario2994 non mi riesce ovvio [se però Tibor Gallai dice che c'è, mi fido abbastanza ]

No, non c'è, ho corretto anch'io...
C'è nel caso f sia integrabile secondo Riemann, mi pare. In altri casi può non esserci equivalenza, tipo se a è irrazionale e b razionale, etc.

[Ani-sama]

Ecco, ora ho rieditato. Non mi posso ciecamente fidare manco di uno come Tibor Gallai, ma che mondo!

[Tibor Gallai]

L'edit più veloce del west.

[SkZ]

ovviamente ani-sama ha ragione: a supporto compatto vuol dire che il supporto (in modo molto semplicistico il dominio, http://it.wikipedia.org/wiki/Supporto_( ... )#Funzioni ) e' un compatto (detto semplicemente insieme chiuso e limitato, ma http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_compatto )
le funzioni a gradoni sono a supporto compatto, non il viceversa.
scusate, passato un po' di tempo e faccio un po' di confusione

Tibor, il ragazzo e' di prima. Dell'esistenza del limite si fa pochi problemi. lasciamolo vivere sereno ancora per un 4 anni

presa una funzione decente (continua, limitata, .... insomma un polinomio o esprimibile con polinomi) la trasformazione si puo' vedere cosi'

$ $\int_{a}^{b}{f(x)}\textrm{d}x=\int_{0}^{b}{f(x)}\textrm{d}x-\int_{0}^{a}{f(x)}\textrm{d}x=\lim_{n\to \infty}\frac{b-0}{n}\sum_{i=0}^{n}{f\left(0+\frac{i\cdot b}{n}\right )}-\frac{a-0}{n}\sum_{k=0}^{n}{f\left(0+\frac{k\cdot a}{n}\right )}}$ $

che poi questo metodo e' anche quello spesso usato in alcuni semplici algoritmi di calcolo numerico di integrali

[Tibor Gallai]

Verissimo SkZ, però so per esperienza personale (ahimè) che le convinzioni errate che uno si forma nei primi anni diventano difficili da estirpare, perché costruisce sopra di esse tutto il resto della sua conoscenza. E' meglio che Dario qui abbia sempre una vocina fastidiosa in un angolo del cervello, che gli ricorda che queste definizioni vanno bene per ora, ma andranno necessariamente rivedute e corrette in futuro.

[SkZ]

si, hai ragione. E la prima botta che si riceve da questa realta' e' la dimostrazione del teorema de l'Hopital: 5 righe in quinta, non finisce piu' in analisi 1

cmq per conoscenza quella esposta da Tibor e' la famosa funzione di Dirichlet
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_Dirichlet
funzione particolare "inventata" appunto per risultare "indigesta" all'integrale di Reimann

La funzione di Dirichlet è un esempio di funzione che non è continua in nessun punto del dominio, infatti ogni intorno di qualsiasi punto contiene sempre almeno un numero razionale e un numero irrazionale (in effetti infiniti punti per entrambe le categorie) e quindi due punti in cui la funzione assume valore 0 e 1.

La funzione è non integrabile secondo Riemann ma integrabile secondo Lebesgue. Poiché la funzione assume quasi ovunque valore 0 (essendo l'insieme dei numeri razionali un insieme di misura nulla) ll risultato dell'operazione di integrazione su qualunque intervallo [a,b] è 0. Per analoghe ragioni, l'integrale della funzione 1 − χ sull'intervallo [a,b] vale b − a.

dario, ricorda: l'analisi fatta alle sup e' quasi sempre molto all'acqua di rose: vale per le funzioni polinomiali e funzioni analitiche non troppo complicate.
Se vuoi qualcosa di piu' corretto tocca andare su testi universitari. Che non sono necessariamente piu' complicati. Visto che sei in prima potresti dare un'occhiata intanto ai capitoli sulla Topologia

[dario2994]

Ragazzi mi rimangono ancora un paio di dubbi:
1 Quel dx scritto accanto ad alcune formule cosa significa??? Derivata di x???
2 Una funzione come quella di dirichlet come diavolo si integra???
3 Quando è che un limite non esiste???

Comunque chiamatemi Federico ;) dario2994 è solo il nick che uso da sempre ma non il mio vero nome ;)

[Tibor Gallai]

Ulp! Capisco (in parte) la tua bramosia di conoscenza spinta, ma perché non seguire i canoni didattici e studiare le cose nell'ordine in cui sono state concepite?

Ragazzi mi rimangono ancora un paio di dubbi:
1 Quel dx scritto accanto ad alcune formule cosa significa??? Derivata di x???
2 Una funzione come quella di dirichlet come diavolo si integra???
3 Quando è che un limite non esiste???

1) Sarebbe un simbolo di differenziale, ma per ora puoi trattarlo tranquillissimamente come segno formale, al pari del $ ~\int $. L'utilità pratica è che dice rispetto a quale variabile stai integrando, nel caso f abbia più variabili... Fai finta che non esista, ma non dimenticare di scriverlo, alla fine di ogni integrale.

2) Appunto. Dipende dalla definizione di integrale. Secondo Riemann non si può integrare, secondo Lebesgue sì e fa sempre 0, secondo te e SkZ si può integrare ma con effetti "bizzarri". Risolvi l'esercizio che ti ho proposto sopra, e vedi cosa viene fuori. Se serve ulteriore aiuto (tipo una "soluzione guidata"), chiedi e ti sarà dato.

3) Esempio: considera la successione 1, -1, 1, -1, 1, -1, ... . Questa non ha limite, secondo la definizione standard. Potresti porre "per sensatezza" il suo limite a 0, ma poi potresti chiederti qual è il limite delle cifre decimali di pigreco, e saresti di nuovo nei guai...

[SkZ]

2) Appunto. Dipende dalla definizione di integrale. Secondo Riemann non si può integrare, secondo Lebesgue sì e fa sempre 0, secondo te e SkZ si può integrare ma con effetti "bizzarri". Risolvi l'esercizio che ti ho proposto sopra, e vedi cosa viene fuori. Se serve ulteriore aiuto (tipo una "soluzione guidata"), chiedi e ti sarà dato.

in verita' io preferisco la definizione quella con le funzioni a scalino. Con essere si vede che il massimo delle somme delle funz minori e' 0 e il minimo delle funz maggiori e' la somma delle lunghezze degli intervalli considerati, ergo non ha integrale.
Dicevo solo che per le funzioni che lui puo' trovare/pensare quell'algoritmo va bene.


una funzione ammette limite l in x=c se dato $ ~\epsilon>0 $ esiste un $ ~\delta>0 $ tale che $ ~|f(x)-l|<\epsilon $ per ogni x compreso tra $ ~c-\delta $ e $ ~c+\delta $
(ovvero dato $ ~\epsilon>0 \quad \exists\delta>0 : |f(x)-l|<\epsilon \; \forall x\in ]c-\delta; c+\delta[ $

$ ~\sin{1/x} $ puoi vedere che non ammette limite in 0

per capire i limiti nella loro interezza ti serve studiare la topologia perche' servono i concetti di insieme aperto/chiuso, intorno e poi passare alle successioni

[Ani-sama]

Io non vorrei che stiamo alzando troppo il tiro, sinceramente... Ora, io non sono affatto un esperto di didattica, ma ho come l'idea che nello studio sia molto utile avere un'idea... intuitiva degli oggetti che si vanno a studiare. La definizione di limite "epsilon-delta" sottende un'idea precisa, ma è un concetto che non è affatto banale!

Lo studio della topologia, poi... sì, è una cosa che personalmente ho trovato illuminante quando vista per la prima volta all'università, ma mi domando ancora quanto abbia senso partire sparati con l'impostazione assiomatica... Non so, sono un po' perplesso.