Quanto vale?

[Alex90]

Quali sono le ultime 4 cifre del prodotto $ 1 \cdot 3 \cdot ... \cdto 9997 \cdot 9999 $?

[gst_113]

8125?

[Alex90]

no...puoi postare il tuo ragionamento?

[gst_113]

ho notato che $ k5^5 \equiv (k+17)5^5 mod(1000) $
quindi le ultime 4 cifre dei prodotti di 5^5 sono ciclici con periodo 16, e sono:

1->3125
3->9375
5->5625
7->1875
9->8125
11->4375
13->0625
15->6875


$ 1*3*...*9999=5^5*\frac{1*3*...9999}{3125} $
adesso basta vedere a cosa è congrua quella roba mod (16)
notiamo che al numeratore ci sono 5000 numeri dispari che in mod (16) si scrivono a gruppi di 8:
1*3*5*7*9*11*13*15 e 5000 è divisibile per 8
si vede che $ 1*3*5*7*9*11*13*15 \equiv 1 (16) $ quindi il numeratore è uno e il denominatore è $ 3125 \equiv 5 (16) $
siccome 5 e 16 sono coprimi, si può trovare 1/5 mod (16) che è 13
quindi la frazione è congrua a 13 mod 16 e quindi le ultime cifre del prodotto dovrebbero essere 0625... giusto?

(il risultato è diverso da quello di prima perchè ho trovato un errore nel procedimento, adesso l'ho corretto, ma per quel che ne so potrebbero anche essercene altri)

[Alex90]

Esatto!

[SkZ]

$ ~1\cdot 3 \cdot ... \cdto 9997 \cdot 9999=9999!! $
si vede che
$ $(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{(2n)!!}=\frac{(2n)!}{2^nn!} $

non ho idea se serva, appena svegliato e non ho voglia di fare conti ora, cmq

[gst_113]

cosa significa $ n!! $ ?

[SkZ]

pensavo che si capisse dalla prima riga
detta spiccia:
con ! si scende di 1
con !! si scende di 2

n!!
se n pari e' il prodotto ti tutti i pari minori o uguali a n
se dispari e' il prodotto ti tutti i dispari minori o uguali a n

[kn]

Oppure:
$ \displaystyle~1\cdot3\cdots9997\cdot9999 $$ \displaystyle~\equiv(1\cdot3\cdots4999)\cdot[(-4999)(-4997)\cdots(-1)]\equiv(1\cdot3\cdots4999)^2\pmod{10000} $
cioè
$ \displaystyle~(10000-1)!!\equiv(5000-1)!!^2\pmod{10000} $

Idee? (come direbbe qualcuno)