Trovare tutti gli $ (x,y,z) \in \mathbb{Z}^3 $ tali che $ 3^x-5^y=z^2 $
(Con piccola modifica...)
3^x-5^y=z^2 (bmo.2009.1)
3^x-5^y=z^2 (bmo.2009.1)
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Non lo sto complicando, e sinceramente mi chiedo perchè non ce l'abbiano messo direttamente così..Ani-sama ha scritto:Eh, complicarlo però non vale!
Sul carino avrei da ridire, comunque poco male, hai(=abbiamo) solo perso metà pomeriggio di nullafacenzaAni_sama ha scritto:Carino, comunque. Ho scritto due o tre passaggi credo sensati e poi mi sono malamente arenato. Pazienza!
Ps. ho scoperto solo dopo la fine della gara che eri te quello seduto davanti a me! Non ci siamo neanke presentati XD
Ps2. Bronzo sui 20..?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
io ho provato a risolvere nel caso x,y,z strettamente positivi e sono arrivato a dire (spero vivamente sia giusto!!!!) che, escludendo il caso x=2,y=1,z=2 le altre soluzioni sono da cercare nell'espressione 2*3^5k=5^y+1, dove k=x/10. Ora però mi sono bloccato....... 
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Provo a scrivere a grandi linee ciò che avevo combinato fino al punto di impantanamento.
Con un argomento non difficile modulo 5 (tra residui quadratici e resti delle potenze di 3) si può vedere che $ x $ è pari. Scrivo $ x=2h $. Allora, è vero che:
$ 5^y = (3^h - z)(3^h+z) $
Questo mi piace abbastanza, perché da una parte ho la potenza di un primo, dall'altra ho un prodotto. Di conseguenza ciascuno di quei due fattori deve essere una potenza di $ 5 $. Cioè, esiste un certo $ s $ intero tra compreso tra $ 0 $ e $ y $ tale che:
$ 3^h - z = 5^s $
$ 3^h + z = 5^{y-s} $
Intanto osservo che non può essere $ s=y $ altrimenti nella seconda equazione avrei due interi strettamente positivi la cui somma è $ $1 $. Ora sommo membro a membro e trovo così: $ 2 \cdot 3^h = 5^s + 5^{y-s} $. Poiché da una parte ho solo i primi $ 2 $ e $ 3 $, non può essere che $ s \neq 0 $, perché altrimenti di là avrei senz'altro un fattore $ 5 $ a moltiplicare. Morale, $ s=0 $ e mi ritrovo con questo sistema:
$ 3^h - z = 1 $
$ 3^h + z = 5^y $
da cui deduco, come visto prima sommando membro a membro, l'equazione:
$ 2 \cdot 3^h = 5^y + 1 $
Poi volendo uno dimostra con poca fatica che $ z $ deve essere pari, che $ y $ deve essere dispari, ma arrivato a questo punto mi sono arenato...
Con un argomento non difficile modulo 5 (tra residui quadratici e resti delle potenze di 3) si può vedere che $ x $ è pari. Scrivo $ x=2h $. Allora, è vero che:
$ 5^y = (3^h - z)(3^h+z) $
Questo mi piace abbastanza, perché da una parte ho la potenza di un primo, dall'altra ho un prodotto. Di conseguenza ciascuno di quei due fattori deve essere una potenza di $ 5 $. Cioè, esiste un certo $ s $ intero tra compreso tra $ 0 $ e $ y $ tale che:
$ 3^h - z = 5^s $
$ 3^h + z = 5^{y-s} $
Intanto osservo che non può essere $ s=y $ altrimenti nella seconda equazione avrei due interi strettamente positivi la cui somma è $ $1 $. Ora sommo membro a membro e trovo così: $ 2 \cdot 3^h = 5^s + 5^{y-s} $. Poiché da una parte ho solo i primi $ 2 $ e $ 3 $, non può essere che $ s \neq 0 $, perché altrimenti di là avrei senz'altro un fattore $ 5 $ a moltiplicare. Morale, $ s=0 $ e mi ritrovo con questo sistema:
$ 3^h - z = 1 $
$ 3^h + z = 5^y $
da cui deduco, come visto prima sommando membro a membro, l'equazione:
$ 2 \cdot 3^h = 5^y + 1 $
Poi volendo uno dimostra con poca fatica che $ z $ deve essere pari, che $ y $ deve essere dispari, ma arrivato a questo punto mi sono arenato...
...
Se $ h>1 $ cosa puoi dire su $ z $?Ani-sama ha scritto:Poi volendo uno dimostra con poca fatica che $ z $ deve essere pari, che $ y $ deve essere dispari, ma arrivato a questo punto mi sono arenato...
Avevi finito..
Ps.ancora convinto sul carino?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
jordan mi ha preceduto mentre scrivevo, ma ormai...
h=0, y=0
h=1, y=1.
h>1
ragionando modulo 9, $ $y=3\pmod6 $, mando y in 3y
$ $2\cdot3^h=5^{3y}+1=(5^y+1)(5^{2y}-5^y+1) $
ora la prima parentesi è evidentemente quella pari, quindi dovrà a sua volta essere uguale a 2 per una potenza di 3
$ $2\cdot3^{h_1}=5^y+1 $
discesa infinita, bon.
h=0, y=0
h=1, y=1.
h>1
ragionando modulo 9, $ $y=3\pmod6 $, mando y in 3y
$ $2\cdot3^h=5^{3y}+1=(5^y+1)(5^{2y}-5^y+1) $
ora la prima parentesi è evidentemente quella pari, quindi dovrà a sua volta essere uguale a 2 per una potenza di 3
$ $2\cdot3^{h_1}=5^y+1 $
discesa infinita, bon.
No aspetta, proprio mi sfugge. Arrivato al punto che ho scritto, ho passato due ore e mezza in cui tra le altre cose ho ridimostrato la nota fattorizzazione di $ 3^x -1 $ convinto di aver fatto una cosa furba.jordan ha scritto:Se $ h>1 $ cosa puoi dire su $ z $?
Avevi finito..
Ps.ancora convinto sul carino?
Ma aspetta, qui cosa hai fatto? Devi ripartire i fattori, e sei sicuro che $ 5^y+1 = 2 \cdot 3^s $ e che $ 5^{2y}-5^y+1 = 3^{y-s} $, ma....?$ $2\cdot3^h=5^{3y}+1=(5^y+1)(5^{2y}-5^y+1) $
ora la prima parentesi è evidentemente quella pari, quindi dovrà a sua volta essere uguale a 2 per una potenza di 3
EDIT
No ok, ora forse ci sono. xD
Ultima modifica di Ani-sama il 30 apr 2009, 23:31, modificato 3 volte in totale.
...
Da qui o fai come julio sopra, oppure $ 7|5^3+1|5^y+1=2 \cdot 3^h $ ..Ani-sama ha scritto:$ 2 \cdot 3^h = 5^y + 1 $
Edit: eh beh
Ultima modifica di jordan il 30 apr 2009, 23:44, modificato 1 volta in totale.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Per una buffa coincidenza, viene facilmente con questo lemma e poi facendo considerazioni sulla grandezza di LHS e RHS...Ani-sama ha scritto:$ 2 \cdot 3^h = 5^y + 1 $
Tra l'altro è curioso che ho postato questo lemma subito prima che si sapessero i problemi dei balkan...
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)
