Trovare una funzione $ f(x) $ sugi interi tale ke $ f(f(x)) = x^2 $
E posibile risolvere tale equazione funzinale sui reali(a qsta domada nn ho saputo rispndere)?
funzionale sugli interi
ah allora scusa ma mi sono imbarcato in un problema fuori dalla mia portata.....in effetti la teoria rigurdante le equazioni funzionali ancora non l'ho studiata
Però magari ne riparliamo tra un paio di mesi quando ci sarò arrivato
Però magari ne riparliamo tra un paio di mesi quando ci sarò arrivato
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Intanto mettiamo f(0)=0, f(1)=1, e f(-x)=f(x), e ora concentriamoci sui positivi maggiori di 1.
Numero gli interi che non sono quadrati, e chiamo A l'insieme di quelli con indice dispari e B l'insieme di quelli con indice pari. Numero anche questi due insiemi, e sia quindi $ $A_n $ (o $ $B_n $) l'n-esimo elemento di A (o di B).
Ora sia $ $f(A_n)=B_n $, per il resto la funzione è ben definita da $ $f(f(x))=x^2 $ infatti possiamo associare ad ogni $ $A_i $ una i-esima "catena" di valori che si creano per ricorrenza e dimostrare facilmente che queste catene sono disgiunte e che coprono tutti gli interi. Dato infatti un intero n, sia 2^k la massima potenza di 2 tale che $ $\sqrt[2^k]n\in Z $, abbiamo che n appartiene (e appartiene solo) alla catena generata da $ $\sqrt[2^k]n $ se $ $\sqrt[2^k]n\in A $ o da $ $f^{-1}(\sqrt[2^k]n) $ se $ $\sqrt[2^k]n\in B $, quindi possiamo determinare univocamente f(n)
Numero gli interi che non sono quadrati, e chiamo A l'insieme di quelli con indice dispari e B l'insieme di quelli con indice pari. Numero anche questi due insiemi, e sia quindi $ $A_n $ (o $ $B_n $) l'n-esimo elemento di A (o di B).
Ora sia $ $f(A_n)=B_n $, per il resto la funzione è ben definita da $ $f(f(x))=x^2 $ infatti possiamo associare ad ogni $ $A_i $ una i-esima "catena" di valori che si creano per ricorrenza e dimostrare facilmente che queste catene sono disgiunte e che coprono tutti gli interi. Dato infatti un intero n, sia 2^k la massima potenza di 2 tale che $ $\sqrt[2^k]n\in Z $, abbiamo che n appartiene (e appartiene solo) alla catena generata da $ $\sqrt[2^k]n $ se $ $\sqrt[2^k]n\in A $ o da $ $f^{-1}(\sqrt[2^k]n) $ se $ $\sqrt[2^k]n\in B $, quindi possiamo determinare univocamente f(n)