Gravità, primo round (SNS 2007-2008)
Gravità, primo round (SNS 2007-2008)
Un’astronave di massa m orbita attorno ad un pianeta di massa $ M \ggm $. L’orbita è ellittica con semiasse maggiore $ a $ e semiasse minore $ b $.
(a) Si mostri che l’energia totale dell’astronave è data da
$ E = -\frac{GMm}{2a} $.
(b) Usando questa formula si trovi il punto dell’orbita in cui conviene accendere i motori dell’astronave per sfuggire all’attrazione gravitazionale del pianeta. Si supponga che i motori producano sullo scafo una forza costante $ F $ e che possano essere accesi per un tempo massimo $ t $ molto minore del periodo $ T $ dell’orbita.
la forza di gravità è centrale quindi...
Aggiornamento: corretto il segno meno, grazie SkZ
(a) Si mostri che l’energia totale dell’astronave è data da
$ E = -\frac{GMm}{2a} $.
(b) Usando questa formula si trovi il punto dell’orbita in cui conviene accendere i motori dell’astronave per sfuggire all’attrazione gravitazionale del pianeta. Si supponga che i motori producano sullo scafo una forza costante $ F $ e che possano essere accesi per un tempo massimo $ t $ molto minore del periodo $ T $ dell’orbita.
la forza di gravità è centrale quindi...
Aggiornamento: corretto il segno meno, grazie SkZ
Ultima modifica di atat1tata il 19 apr 2009, 23:23, modificato 2 volte in totale.
ti sei dimenticato un segno meno, altrimenti la navicella e' gia' slegata
si puo' dire che vale tale valore per il teorema del viriale?
si puo' dire che vale tale valore per il teorema del viriale?
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la mia era una battuta: a usare il teorema del viriale si corre il rischio che te lo chiedano da dimostrare all'orale
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Domanda: si può trascurare il fatto che l'orbita sia un ellisse e considerarla una circonferenza, vero?
Dovrebbe venire allora che $ v=\sqrt{\frac{GM}{a}} \rightarrow K=\frac{GMm}{2a} $ e $ U_g=-\frac{GMm}{a} $ da cui $ E_{tot}=K+U_g=-\frac{GMm}{2a} $
Del punto b non ho capito questo:
Dovrebbe venire allora che $ v=\sqrt{\frac{GM}{a}} \rightarrow K=\frac{GMm}{2a} $ e $ U_g=-\frac{GMm}{a} $ da cui $ E_{tot}=K+U_g=-\frac{GMm}{2a} $
Del punto b non ho capito questo:
Si supponga che i motori producano sullo scafo una forza costante F e che possano essere accesi per un tempo massimo t molto minore del periodo T dell’orbita.
Sapere aude!
intende che e' un tempo quasi istantaneo
In pratica e' come se fermassi tutto accendi i motori, sposti la navicella e poi riprendi
durante l'accensione la navicella si sposta in modo trascurabile lungo la sua orbita
In pratica e' come se fermassi tutto accendi i motori, sposti la navicella e poi riprendi
durante l'accensione la navicella si sposta in modo trascurabile lungo la sua orbita
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Per il punto (a) il problema chiede di trovare la soluzione generica per un ellisse, ma, se ho ben capito, sei sulla strada giusta . Prova a motivare perché $ v=\sqrt{\frac{GM}{a}} $elendil ha scritto:Domanda: si può trascurare il fatto che l'orbita sia un ellisse e considerarla una circonferenza, vero?
Dovrebbe venire allora che $ v=\sqrt{\frac{GM}{a}} \rightarrow K=\frac{GMm}{2a} $ e $ U_g=-\frac{GMm}{a} $ da cui $ E_{tot}=K+U_g=-\frac{GMm}{2a} $
Del punto b non ho capito questo:Si supponga che i motori producano sullo scafo una forza costante F e che possano essere accesi per un tempo massimo t molto minore del periodo T dell’orbita.
Per il punto (b), come ha detto SkZ, devi fare conto che da un istante all'altro la velocità del punto venga modificata, ma la posizione resti immutata
Edit: refusi
Tento una soluzione bizzarra (e tragicamente poco formale) alla parte b:
Una parabole è un ellisse con asse maggiore infinito, per cui dalla formula si ottiene che in quel caso l'energia meccanica dell'astronave è 0. Quindi per passare dall'energia meccanica che ho a quella che devo avere devo fornire lavoro, che è forza per spostamento. La forza è costante, per minimizzare il tempo (dato lo spostanento) devo andare veloce, il punto in cui vado più veloce è il perielio, per cui devo accendere i motori lì.
Una parabole è un ellisse con asse maggiore infinito, per cui dalla formula si ottiene che in quel caso l'energia meccanica dell'astronave è 0. Quindi per passare dall'energia meccanica che ho a quella che devo avere devo fornire lavoro, che è forza per spostamento. La forza è costante, per minimizzare il tempo (dato lo spostanento) devo andare veloce, il punto in cui vado più veloce è il perielio, per cui devo accendere i motori lì.
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)
(a) Ok, la distanza dai fuochi è $ \displaystyle 2a $, quindi la distanza media da ognuno è $ \displaystyle a $.
Però chi sa farmi vedere che l'energia della situazione descritta nel problema è equivalente a quella di un moto circolare di raggio pari alla distanza media da un fuoco?
(b) Praticamente $ \displaystyle t<<T $ si deve tradurre in $ \displaystyle \Delta U \approx 0 $ ?
($ \displaystyle \Delta U $ è la variazione di en.potenziale durante il funzionamento dei motori)
Però chi sa farmi vedere che l'energia della situazione descritta nel problema è equivalente a quella di un moto circolare di raggio pari alla distanza media da un fuoco?
(b) Praticamente $ \displaystyle t<<T $ si deve tradurre in $ \displaystyle \Delta U \approx 0 $ ?
($ \displaystyle \Delta U $ è la variazione di en.potenziale durante il funzionamento dei motori)
fuggire dall'attrazione vuol dire
o portare $ ~v\geq v_f(r) $
o portare da $ ~E<0 $ a $ ~E\geq0 $
o portare $ ~v\geq v_f(r) $
o portare da $ ~E<0 $ a $ ~E\geq0 $
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Il calcolo della velocità $ v $ si ottiene dall'eguagliare accelerazione gravitazionale e centripeta: $ \frac{v^2}{r}=\frac{GM}{r^2} $ e quindi l'energia della situazione descritta nel problema è equivalente a quella di un moto circolare di raggio pari al semiasse maggiore dell'ellisse con la massa $ M $ al centro.
Per quanto riguarda il punto b) ho ancora qualche dubbio: se inizialmente approssimo ad una circonferenza per calcolare l'energia totale mantenendo tale approssimazione ha senso cercare un tratto "più conveniente"? Non dovrei recuperare il fatto che l'orbita è ellittica? Ma allora perchè si approssima una volta sì e una no
Chiarito questo proverò a dare una soluzione decente...
Per quanto riguarda il punto b) ho ancora qualche dubbio: se inizialmente approssimo ad una circonferenza per calcolare l'energia totale mantenendo tale approssimazione ha senso cercare un tratto "più conveniente"? Non dovrei recuperare il fatto che l'orbita è ellittica? Ma allora perchè si approssima una volta sì e una no
Chiarito questo proverò a dare una soluzione decente...
Sapere aude!