Cubetto di sughero
Cubetto di sughero
Un cubetto di sughero di spigolo 10 ha un peso attaccato ad un vertice e galleggia in un secchio d'acqua in modo che una diagonale risulti in posizione verticale. Quanto misura in cm², la superficie del cubetto a contatto con l'acqua, sapendo che il volume immerso è pari a 5 volte quello emerso?
"Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica e l'amore"
(purtroppo non riesco a fare un'immagine decente)
La parte emersa è un tetraedro che ha un vertice coincidente con uno di quelli del cubo e come base opposta un triangolo equilatero i cui vertici sono equidistanti dal vertice sopracitato.
Chiamando $ ~d $ questa distanza, il volume del tetraedro è $ ~\frac{d^3}{6} $. Dunque $ ~10^3-\frac{d^3}{6}=\frac{5}{6}d^3 $ e $ ~d=10 $.
Allora la superficie emersa del cubo è $ \frac{3}{2}d^2 $ e quella immersa è $ 6\cdot10^2-\frac{3}{2}10^2=100\frac{9}{2}=450\mbox{cm}^2 $
La parte emersa è un tetraedro che ha un vertice coincidente con uno di quelli del cubo e come base opposta un triangolo equilatero i cui vertici sono equidistanti dal vertice sopracitato.
Chiamando $ ~d $ questa distanza, il volume del tetraedro è $ ~\frac{d^3}{6} $. Dunque $ ~10^3-\frac{d^3}{6}=\frac{5}{6}d^3 $ e $ ~d=10 $.
Allora la superficie emersa del cubo è $ \frac{3}{2}d^2 $ e quella immersa è $ 6\cdot10^2-\frac{3}{2}10^2=100\frac{9}{2}=450\mbox{cm}^2 $
Sarebbe più chiaro se riuscissi a fare una figura...cercherò di spiegarmi bene.
Il tetraedro si costruisce prendendo un vertice, tracciando lungo i tre spigoli del cubo tre segmenti di lunghezza d e collegando i vari estremi tra di loro.
Chiamiamo "isoscele" una faccia del tetraedro che giace su una del cubo (che è appunto un triangolo rettangolo isoscele con i cateti lunghi d).
Ora poiché gli spigoli del cubo sono ortogonali tra di loro (e così le facce del cubo), ognuna delle tre facce isosceli del tetraedro è perpendicolare allo spigolo che concorre al vertice e non appartiene ad essa.
Dunque il volume del tetraedro si può calcolare come area della faccia isoscele*segmento di lunghezza d perpendicolare alla faccia/3=$ \frac{d^2}{2}\cdot d/3=\frac{d^3}{6} $
...la spiegazione è un po' incasinata, spero si capisca
Il tetraedro si costruisce prendendo un vertice, tracciando lungo i tre spigoli del cubo tre segmenti di lunghezza d e collegando i vari estremi tra di loro.
Chiamiamo "isoscele" una faccia del tetraedro che giace su una del cubo (che è appunto un triangolo rettangolo isoscele con i cateti lunghi d).
Ora poiché gli spigoli del cubo sono ortogonali tra di loro (e così le facce del cubo), ognuna delle tre facce isosceli del tetraedro è perpendicolare allo spigolo che concorre al vertice e non appartiene ad essa.
Dunque il volume del tetraedro si può calcolare come area della faccia isoscele*segmento di lunghezza d perpendicolare alla faccia/3=$ \frac{d^2}{2}\cdot d/3=\frac{d^3}{6} $
...la spiegazione è un po' incasinata, spero si capisca
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Tibor Gallai
- Messaggi: 1776
- Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12
LOL @ Federiko!! 
Il problema sembra di pseudo-fisica perché c'è il pesetto attaccato al vertice del galleggiante, etc etc. In realtà tutti questi dettagli sono ininfluenti alla soluzione, e sono stati aggiunti solo per prevenire le più probabili obiezioni/incomprensioni da parte dei fisicoidi. Nota infatti che se la densità del cubetto fosse uniforme, quella posizione sarebbe di equilibrio instabile, e fisicamente irrealizzabile. Ma a ben guardare, il problema è di geometria pura.
Chi l'ha proposto può indicare la fonte? La indicherei io, ma non la ricordo esattamente.
Il problema sembra di pseudo-fisica perché c'è il pesetto attaccato al vertice del galleggiante, etc etc. In realtà tutti questi dettagli sono ininfluenti alla soluzione, e sono stati aggiunti solo per prevenire le più probabili obiezioni/incomprensioni da parte dei fisicoidi. Nota infatti che se la densità del cubetto fosse uniforme, quella posizione sarebbe di equilibrio instabile, e fisicamente irrealizzabile. Ma a ben guardare, il problema è di geometria pura.
Chi l'ha proposto può indicare la fonte? La indicherei io, ma non la ricordo esattamente.