razionalizzare il denominatore
- federiko97
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razionalizzare il denominatore
Ciao ragazzi!
Oggi a scuola ho visto che quando al denominatore c'è $ \sqrt{x} $ oppure che so $ \sqrt{x}+\sqrt{y} $ si può sempre razionalizzare (basta moltiplicare sopra e sotto per $ \sqrt{x} $ nel primo caso o $ \sqrt{x}-\sqrt{y} $ nel secondo).
Pensandoci bene a casa mi sono reso conto che qualsiasi scrittura di quel tipo (cioè con un po' di lettere, somme, sottrazioni, prodotti e radici - non necessariamente quadrate, anche terze, quarte o di più - anche i radicali doppi vanno bene) è sempre razionalizzabile...
Provate a dimostrarlo...
Oggi a scuola ho visto che quando al denominatore c'è $ \sqrt{x} $ oppure che so $ \sqrt{x}+\sqrt{y} $ si può sempre razionalizzare (basta moltiplicare sopra e sotto per $ \sqrt{x} $ nel primo caso o $ \sqrt{x}-\sqrt{y} $ nel secondo).
Pensandoci bene a casa mi sono reso conto che qualsiasi scrittura di quel tipo (cioè con un po' di lettere, somme, sottrazioni, prodotti e radici - non necessariamente quadrate, anche terze, quarte o di più - anche i radicali doppi vanno bene) è sempre razionalizzabile...
Provate a dimostrarlo...
Ciao federiko97! (ma se 97 è il tuo anno di nascita non è troppo presto per frequentare questi brutti posti? )
Riguardo il problema, all'inizio mi sembrava banalotto ma non lo è affatto, quindi sei proprio sicuro di ciò che affermi?
anche perchè col tempo mi sono convinto, e forse sono riuscito anche dimostrato, che ad esempio $ $ \frac {1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}$ $ non sia razionalizzabile.
Riguardo il problema, all'inizio mi sembrava banalotto ma non lo è affatto, quindi sei proprio sicuro di ciò che affermi?
anche perchè col tempo mi sono convinto, e forse sono riuscito anche dimostrato, che ad esempio $ $ \frac {1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}$ $ non sia razionalizzabile.
EATO non è un'idea, è uno stile di vita
Uhm, una definizione possibile di razionalizzare è questa:
diciamo che un quasipolinomio è un polinomio in cui gli esponenti delle variabili invece che interi nonnegativi sono razionali nonnegativi
un quasipolinomio $ q $ a coefficienti in $ \mathbb{C} $ (ma potremmo anche fare questo giochetto in $ \mathbb{R} $ o in $ \mathbb{Q} $ se non mi sbaglio) è razionalizzabile se esiste un altro quasipolinomio $ r $ tale che $ q\cdot r $ è un polinomio.
Ad esempio $ q(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y} $ è razionalizzabile in quanto, posto $ r(x,y)=\sqrt{x}-\sqrt{y} $, sia ha che $ q(x,y)\cdot r(x,y)=x-y $ che è un polinomio.
Ora la tesi diventa: ogni quasipolinomio è razionalizzabile.
diciamo che un quasipolinomio è un polinomio in cui gli esponenti delle variabili invece che interi nonnegativi sono razionali nonnegativi
un quasipolinomio $ q $ a coefficienti in $ \mathbb{C} $ (ma potremmo anche fare questo giochetto in $ \mathbb{R} $ o in $ \mathbb{Q} $ se non mi sbaglio) è razionalizzabile se esiste un altro quasipolinomio $ r $ tale che $ q\cdot r $ è un polinomio.
Ad esempio $ q(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y} $ è razionalizzabile in quanto, posto $ r(x,y)=\sqrt{x}-\sqrt{y} $, sia ha che $ q(x,y)\cdot r(x,y)=x-y $ che è un polinomio.
Ora la tesi diventa: ogni quasipolinomio è razionalizzabile.
Davvero? Come lo hai dimostrato?PubTusi ha scritto:anche perchè col tempo mi sono convinto, e forse sono riuscito anche dimostrato, che ad esempio $ $ \frac {1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}$ $ non sia razionalizzabile.
Fondatore dell'associazione "Non uno di meno", per lo sterminio massiccio dei nani e affini.
nn direi..: qndo si parla di razionalizzare si parla di una frazione con una roba che contiene radici al denominatore, di cui si vuole trovare una frazione equivalente ke nn abbia qste radici al denominatore. Seguendo la tua definizione di quasipolinomio, la definizione dovrebbe essere la seguente: si dice che un rapporto fra due quasipolinomi e razionalizzabile, se e equivalente al rapporto fra un quasi polinomio e un polinomio.
MIND TORNA CON NOI
come l'ha esposto Febo e' piu' generale, ma equivalente alle richieste.
messa in sistetico
definito $ ~\mathcal{Q}_n $ l'insieme dei quasi-polinomi $ ~\mathbb{C}^n\mapsto \mathbb{C} $ e $ ~\mathcal{P}_n $ l'insieme dei polinomi $ ~\mathbb{C}^n\mapsto \mathbb{C} $
$ ~\forall q\in\mathcal{Q}_n\;\exists r \in \mathcal{Q}_n : q\cdot r\in \mathcal{P}_n $
messa in sistetico
definito $ ~\mathcal{Q}_n $ l'insieme dei quasi-polinomi $ ~\mathbb{C}^n\mapsto \mathbb{C} $ e $ ~\mathcal{P}_n $ l'insieme dei polinomi $ ~\mathbb{C}^n\mapsto \mathbb{C} $
$ ~\forall q\in\mathcal{Q}_n\;\exists r \in \mathcal{Q}_n : q\cdot r\in \mathcal{P}_n $
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- FrancescoVeneziano
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Pubtusi, ti sei convinto di una cosa falsa.
Chiamiamo $ \zeta $ una radice terza primitiva dell'unità e sia
$ A=\displaystyle\prod_{i,j,k=0}^2 \zeta^i \sqrt[3]{x}+\zeta^j \sqrt[3]{y}+\zeta^k \sqrt[3]{z} $
si può dimostrare, usando un po' di teoria di Galois oppure svolgendo il prodotto di quei 27 trinomi e ricordando che $ \zeta^2+\zeta+1=0 $, che A è un polinomio in x,y,z a coefficienti razionali e da questo si ricava un'espressione "razionalizzata" di $ \frac{1}{ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}} $.
Chiamiamo $ \zeta $ una radice terza primitiva dell'unità e sia
$ A=\displaystyle\prod_{i,j,k=0}^2 \zeta^i \sqrt[3]{x}+\zeta^j \sqrt[3]{y}+\zeta^k \sqrt[3]{z} $
si può dimostrare, usando un po' di teoria di Galois oppure svolgendo il prodotto di quei 27 trinomi e ricordando che $ \zeta^2+\zeta+1=0 $, che A è un polinomio in x,y,z a coefficienti razionali e da questo si ricava un'espressione "razionalizzata" di $ \frac{1}{ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}} $.
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
Uhm, le cose si fanno sempre più interessanti....
L'idea di usare le radici dell'unità sembra interessante... Credo si riesca a concludere, usando l'idea di FrancescoVeneziano, in maniera completamente elementare.
Qualcuno che si cimenta?
Hint: considerate \displaystyle q(x_1,\dots ,x_n)=\prod_{a_1\dots ,a_n =0}^{k-1} q(x_1\zeta ^{a_1},\dots ,x_n\zeta ^{a_n}) dove \zeta è una radice primitiva k-esima e k è il minimo comune denominatore degli esponenti del quasipolinomio q
L'idea di usare le radici dell'unità sembra interessante... Credo si riesca a concludere, usando l'idea di FrancescoVeneziano, in maniera completamente elementare.
Qualcuno che si cimenta?
Hint: considerate \displaystyle q(x_1,\dots ,x_n)=\prod_{a_1\dots ,a_n =0}^{k-1} q(x_1\zeta ^{a_1},\dots ,x_n\zeta ^{a_n}) dove \zeta è una radice primitiva k-esima e k è il minimo comune denominatore degli esponenti del quasipolinomio q
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- federiko97
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Veramente sono del 92, ma Federiko92 era già occupato In più 97 è un numero primoPubTusi ha scritto:Ciao federiko97! (ma se 97 è il tuo anno di nascita non è troppo presto per frequentare questi brutti posti? )
Riguardo il problema, all'inizio mi sembrava banalotto ma non lo è affatto, quindi sei proprio sicuro di ciò che affermi?
anche perchè col tempo mi sono convinto, e forse sono riuscito anche dimostrato, che ad esempio $ $ \frac {1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}$ $ non sia razionalizzabile.
Comunque guarda, sono sicuro che anche $ $ \frac {1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}$ $ sia razionalizzabile. E in ogni caso no, il problema non è banalotto, anzi...
memberlist.php?mode=username&order=ASC&start=3000
Federiko92 è libero..
EDIT: maledetto spiglerg!! L'hai creato adesso!
Federiko92 è libero..
EDIT: maledetto spiglerg!! L'hai creato adesso!
Ultima modifica di Federiko il 24 mar 2009, 19:57, modificato 1 volta in totale.
CUCCIOLO
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