2009!

[Fenice]

determina il numero di zeri con cui termina 2009!

[Veluca]

uff... avevo postato ma è crashato tutto e ho perso =_=' ricostruisco

premettendo che sembra un problema parecchio scolastico xD... usando questa formula dalle schede di gobbino si ha che la massima potenza di p che divide n! è $ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{n}{p^k}\right] $ dove le [] indicano "parte intera"

quindi $ 2^{2001}|2009! $ e $ 5^{500}|2009! $ -> $ 10^{500}|2009! $ -> 2009! termina con 500 zeri.
se serve una spiegazione della formula, chiedi pure

[Fenice]

sinceramente nn capisco bene la formula se potresti spiegarla meglio, mi interessa moltissimo perchè cmq questo è un problema che abbiamo cercato di risolvere nel corso della selezione locale delle olimpiadi a squadra, e penso che potrei trovarmi difronte a problemi del genere in futuro e vorrei essere in grado di risolverli

[Veluca]

allora, con $ k=\left[\frac{n}{m}\right] $ si ricavano i multipli di m fino ad n (infatti si ha 1·m, 2·m...k·m, che sono k numeri, ma (k+1)·m>n)

ora, in n!, compare il prodotto dei numeri da 1 a n. in questo prodotto, un primo p appare $ \left[\frac{n}{p}\right] $ volte per i multipli di p, ma i multipli di p² contengono p 2 volte, quindi bisogna aggiungere $ \left[\frac{n}{p^2}\right] $, stessa cosa per p³ ($ \left[\frac{n}{p^3}\right] $) etc etc... in quella sommatoria infinita dopo un certo punto tutti gli addendi saranno 0, perchè $ p^k $ sarà maggiore di n

[fph]

Questo è un po' un problema "che bisogna portarsi da casa" (come dice Gobbino): se conosci la formula che ha citato Veluca è un problema scolastico, ma se non la conosci è molto difficile riuscire a inventarsela lì per lì. Purtroppo l'unico modo per riuscire a smontarli è studiarsi un po' di "teoria" (dai un'occhiata ai thread in testa alla sezione Glossario). Fortunatamente sono cose più interessanti di un compito in classe di storia , ma il concetto è quello.