Trovare tutte le soluzioni intere positive di:
$ $\sum_{i=1}^n{i!}=m^k $
Non difficilissimo, possibilmente per i meno esperti. Nato da una conversazione con jordan in cui ci siamo dati prova reciproca di demenza.
Somma di fattoriali [own]
comincio e mi fermo subito.
Tolto il caso "banale" di k = 1, abbiamo:
con n = 3, la somma vale 9 e possiamo aggiungere m = 3, k = 2
Per n > 3, la cifra delle unità è sempre 3. Le potenze di naturali che hanno 3 come cifra delle unità sono del tipo 3^(1+4x) e 7^(3y) e qui mi fermo perché il rancio chiama.
Tolto il caso "banale" di k = 1, abbiamo:
con n = 3, la somma vale 9 e possiamo aggiungere m = 3, k = 2
Per n > 3, la cifra delle unità è sempre 3. Le potenze di naturali che hanno 3 come cifra delle unità sono del tipo 3^(1+4x) e 7^(3y) e qui mi fermo perché il rancio chiama.
Mmm...Escludo subito il caso n=1, che da potenze di uno, e d'ora in poi non considererò più questa soluzione. Dimostro prima di tutto che $ \sum_{i=1}^{n}{i!}=m^k \implies k<3 $. Infatti, come ha gia mostrato andreac, $ 1+2+6=9\implies \sum_{i=1}^{n}{i!}\equiv 0\pmod 3 \forall 2<n $. Provando modulo 9 non si ottengono restrizioni, ma se non ho sbagliato i conti, tale sommatoria non è mai congrua a 0 modulo 27...Infatti$ \sum_{i=1}^{5}{i!}=153\equiv 18\pmod {27} $, se non erro $ 6!\equiv 18\pmod {27} $; $ 7!\equiv 18\pmod {27} $ e $ 8!\equiv 9\pmod {27} \implies \sum_{i=1}^{8}{i!}\equiv 18+18+18+9\equiv 9\pmod {27}, $
$ j!\equiv 0\pmod {27} \forall8<j \implies\sum_{i=1}^{n}\equiv 9\pmod {27} $ per ogni 8<n. Quindi k<3. Inoltre se non ho sbagliato non ci sono cubi nei casi n=2,3,4,...8. Ora, dato che è un quadrato, non può avere come cifra delle unità il 3. Allora l'unica soluzione, se non ho sabgliato nulla, è quella trovata da andreac...Spero di non aver scritto eresie..
Edit: $ 0!=1 $...ora dovrebbe funzionare
$ j!\equiv 0\pmod {27} \forall8<j \implies\sum_{i=1}^{n}\equiv 9\pmod {27} $ per ogni 8<n. Quindi k<3. Inoltre se non ho sbagliato non ci sono cubi nei casi n=2,3,4,...8. Ora, dato che è un quadrato, non può avere come cifra delle unità il 3. Allora l'unica soluzione, se non ho sabgliato nulla, è quella trovata da andreac...Spero di non aver scritto eresie..
Edit: $ 0!=1 $...ora dovrebbe funzionare