Ecco un problema un po' insolito, frutto delle prime due ore del corso di "Matematiche elementari da un punto di vista superiore".
Costruire un modello matematico per cui valgono i seguenti tre assiomi:
Esistono infiniti punti
Per ogni punto passano esattamente 2009 rette (insiemi di punti) diverse
Ogni coppia di rette si interseca in un numero infinito di punti
Per 'costruire un modello' intendo dare un significato, diverso da quello solito, alle parole 'punto' e 'retta' in modo tale che valgano questi assiomi. Io ho trovato un modello semplice e carino (lo può trovare un qualsiasi olimpionico alle prime armi): lo posterò tra qualche giorno. Vediamo se voi riuscite a scoprirlo o ne riuscite a inventare di altri.
Edit: aggiunto che le rette devono essere insiemi di punti.
Ultima modifica di HarryPotter il 03 mar 2009, 02:36, modificato 1 volta in totale.
Forse ci vuole la condizione che le rette siano insiemi di punti, altrimenti lo vedo poco interessante...
Aggiungendo questa condizione, prendiamo i numeri naturali come punti, e definiamo la retta i-esima come l'insieme dei naturali che non sono congrui a i modulo 2010. Quindi ci sono infiniti punti, 2010 rette diverse, e tutte le condizioni sono verificate.
La prima cosa che mi è venuta in mente è un pelo più complicata:
si trattava di associare a ogni punto le rette a cui appartiene; in particolare
al punto 1, le rette $ 1, ... , 2009 $
dal punto 2 al 2009, le rette $ 1, ... ,2010 $(escludendone una per ciascun punto sempre diversa, e mai la 2010)
poi fare la stessa costruzione escludendo due tra le rette $ 1, ... , 2011 $, e così via.
Se non mi son perso niente funziona, la differenza con l'altra soluzione è che ha infinite rette.
In compenso, è facilmente adattabile al secondo problema:
basta sostituire, nella costruzione, "il punto $ p $ appartiene alle rette $ p_1, ... , p_{2009} $" con "la retta $ p $ contiene i punti $ p_1, ... ,p_{2009} $".
(edit: in questi giorni sto odiando il TeX o.o')
Sunshine or rain, it's all the same, life isn't gray
oh Mary-Lou.
ehm.. i sottoinsiemi di 2009 elementi di un insieme infinito no?
(in cui i punti sono effettivamente gli elementi dell'insieme e le rette sono i sottoinsiemi; prendendo i sottoinsiemi come punti e l'insieme come insieme delle rette otteniamo un modello per il problema originale, un po' più contorto, visto che ribalta le appartenenze )
Io pensavo alla versione di ma_go.
Qualcuno che tiri fuori qualche teorema non banale o qualche proposizione indipendente dagli assiomi riguardanti le intersezioni a 3 a 3 di rette? (nella teoria di HarryPotter)
)