il 7 arriva prima o poi??
il 7 arriva prima o poi??
Problema molto interessante...
È stato proposto a una lezione tenuta a Roma3 riguardante le congruenze.
Data la funzione $ f(n)= 2^n $ dimostrare che per qualche valore di $ n $ il valore restituito ha come prima cifra (da sinistra) 7
È stato proposto a una lezione tenuta a Roma3 riguardante le congruenze.
Data la funzione $ f(n)= 2^n $ dimostrare che per qualche valore di $ n $ il valore restituito ha come prima cifra (da sinistra) 7
"Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica e l'amore"
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Volevo chiederlo anche iokn ha scritto:e con linux?
Physics is like sex. Sure, it may give some practical results, but that's not why we do it.
Edriv: c=c+2; "tu sarai ricordato come `colui che ha convertito edriv alla fisica' ;)"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine sono macchine di Turing pure loro, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
Edriv: c=c+2; "tu sarai ricordato come `colui che ha convertito edriv alla fisica' ;)"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine sono macchine di Turing pure loro, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
un applicazione del nn famoso, ma molto utile, teorema di jacobi (si esatto, quello del mio nick ): la sequenza ( per a irrazionale ) $ a_n = n a - \lfloor n a \rfloor $ e densa ovunque in (0,1)piever ha scritto:Generalizziamo un po':
Per ogni sequenza finita di cifre decimali esiste n tale che l'espressione decimale di $ 2^n $ inizia con quella sequenza di cifre.
MIND TORNA CON NOI
Raga', qui non ci stiamo capendo. Non serve gente che snobba il problema, lo fa al computer, o dice "è un caso particolare di questo risultato super-generale". Sarebbe gradita una dimostrazione "da gara", possibilmente autocontenuta, da parte di qualcuno che non ha già visto il problema dieci volte. Se no questo forum che ci sta a fare?
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Ok, ci provo (senza congruenze, però). Mi sono bloccato alla fine:
Dev'essere, per qualche $ $k, n \in \mathbb{N}$ $:
$ $7 \cdot 10^k \leq 2^n < 8 \cdot 10^k$ $
Prendendo il logaritmo in base due:
$ $\log_2 7 + k \log_2 10 \leq n < \log_2 8 + k \log_2 10$ $
Ora, dev'esserci un intero $ $n$ $ che stia tra quei due numeri, ovvero devono avere parte intera diversa, ed in particolare:
$ $ \lfloor \log_2 7 + k \log_2 10 \rfloor < \lfloor 3 + k \log_2 10 \rfloor $ $
Consideriamo ora $ $ 3 - \log_2 7 $ $. Si può dimostrare che è compreso tra $ $\frac{1}{4}$ $ e $ $\frac{1}{6}$ $.
Ovvero, la parte decimale di $ $\log_2 7$ $ è compresa tra $ $[0.75, 0.83]$ $
Allora, perchè valga $ $ \lfloor \log_2 7 + k \log_2 10 \rfloor < \lfloor 3 + k \log_2 10 \rfloor $ $, dev'essere che $ $k\log_2 10$ $ abbia, per qualche $ $k$ $, un decimale minore di $ $0.17$ $, in modo che a sinistra non avvenga lo "scatto" all'unità successiva e la disuguaglianza con le funzioni floor regga.
... now?
Dev'essere, per qualche $ $k, n \in \mathbb{N}$ $:
$ $7 \cdot 10^k \leq 2^n < 8 \cdot 10^k$ $
Prendendo il logaritmo in base due:
$ $\log_2 7 + k \log_2 10 \leq n < \log_2 8 + k \log_2 10$ $
Ora, dev'esserci un intero $ $n$ $ che stia tra quei due numeri, ovvero devono avere parte intera diversa, ed in particolare:
$ $ \lfloor \log_2 7 + k \log_2 10 \rfloor < \lfloor 3 + k \log_2 10 \rfloor $ $
Consideriamo ora $ $ 3 - \log_2 7 $ $. Si può dimostrare che è compreso tra $ $\frac{1}{4}$ $ e $ $\frac{1}{6}$ $.
Ovvero, la parte decimale di $ $\log_2 7$ $ è compresa tra $ $[0.75, 0.83]$ $
Allora, perchè valga $ $ \lfloor \log_2 7 + k \log_2 10 \rfloor < \lfloor 3 + k \log_2 10 \rfloor $ $, dev'essere che $ $k\log_2 10$ $ abbia, per qualche $ $k$ $, un decimale minore di $ $0.17$ $, in modo che a sinistra non avvenga lo "scatto" all'unità successiva e la disuguaglianza con le funzioni floor regga.
... now?
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Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
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Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
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