Salve ragazzi, sono nuovo del forum.
Sto avendo dei problemi con la dimostrazione di alcune proprietà delle potenze con esponente reale:
$
$
0 < a, ~ a \neq 1\\
\forall ~ x,y \in \mathbb{R}\\
1)~a^{x+y} = a^x a^y \\
2)~a^{xy} = \left(a^x\right)^y \\
3)~a^{-x} = \frac{1}{a^x}\\
$
$
Grazie in anticipo.
Dimostrazione proprietà potenze ad esponenti reali
Innanzitutto si parte da una definizione di notazione
$ $a^n=\prod_{i=1}^n a $
ergo
$ ~a^na=a^{n+1} $ da cui si ottiene 1
dalla definizione applicata 2 volte ottieni 2
e il 3 lo ottieni da 1
$ $a^n=\prod_{i=1}^n a $
ergo
$ ~a^na=a^{n+1} $ da cui si ottiene 1
dalla definizione applicata 2 volte ottieni 2
e il 3 lo ottieni da 1
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Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
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Attenzione, il problema non è affatto quello di provare le suddette proprietà per i numeri naturali, o per gli interi o per i razionali. Il problema è provarlo per i numeri reali in genere.
Se $ $0<a, ~ a \neq 1$ $, allora $ $\forall ~c \in \mathbb{R}:$ $
$ a^c = \begin{cases} \sup_{x \in \mathbb{Q}, x<c} a^x = \inf_{y \in \mathbb{Q}, c<y} a^y & \mbox{se }1<a \\ \inf_{x \in \mathbb{Q}, x<c} a^x = \sup_{y \in \mathbb{Q}, c<y} a^y & \mbox{se }0<a<1 \end{cases} $
Se $ $0<a, ~ a \neq 1$ $, allora $ $\forall ~c \in \mathbb{R}:$ $
$ a^c = \begin{cases} \sup_{x \in \mathbb{Q}, x<c} a^x = \inf_{y \in \mathbb{Q}, c<y} a^y & \mbox{se }1<a \\ \inf_{x \in \mathbb{Q}, x<c} a^x = \sup_{y \in \mathbb{Q}, c<y} a^y & \mbox{se }0<a<1 \end{cases} $
Un punto chiave è dimostrare che quei sup e inf coincidono (tu lo dai per scontato ma mi pare di ricordare che non è banalissimo).
Una volta fatto questo, le proprietà sui reali seguono dal fatto che le proprietà sono vere per i razionali, senza aggiungere molto altro.
Proviamo a dimostrare che $ ~ a^{x+y}= a^xa^y $. (prendo a>1)
Diciamo che voglio in qualche modo applicare la proprietà sui razionali, che lì so già che è valida. Allora dovrò prendere due numeri razionali, no?
Se x',y' sono razionali con x'<x e y'<y> a^{x'+y'}[/tex], ora che ho dei razionali posso applicare la prop. sui razionali:
$ a^{x'+y'} = a^{x'}a^{y'} $.
Allo stesso modo, se prendevo x''>x ed y''>y, trovavo $ ~ a^{x''}a^{y''} > a^{x+y} $.
Dopo queste considerazioni ovvie, cosa abbiamo concluso? Che $ a^{x+y} $ è un numero compreso tra tutti i numeri della forma $ a^{x''}a^{y''} $ con x''>x,y''>y e $ a^{x'}a^{y'} $ con x'<x> a^{x'}[/tex] per ogni x'<x. Di nuovo, per definizione di potenza, otteniamo:
$ ~ \frac{a^{x+y}}{a^y} \ge a^x $
da cui $ ~ a^{x+y} \ge a^xa^y $.
Se fai lo stesso ragionamento "girato", applicendo la definizione di potenza reale come inf di cose invece che di sup, ottieni $ ~ a^{x+y} \le a^xa^y $. e concludi.
Una volta fatto questo, le proprietà sui reali seguono dal fatto che le proprietà sono vere per i razionali, senza aggiungere molto altro.
Proviamo a dimostrare che $ ~ a^{x+y}= a^xa^y $. (prendo a>1)
Diciamo che voglio in qualche modo applicare la proprietà sui razionali, che lì so già che è valida. Allora dovrò prendere due numeri razionali, no?
Se x',y' sono razionali con x'<x e y'<y> a^{x'+y'}[/tex], ora che ho dei razionali posso applicare la prop. sui razionali:
$ a^{x'+y'} = a^{x'}a^{y'} $.
Allo stesso modo, se prendevo x''>x ed y''>y, trovavo $ ~ a^{x''}a^{y''} > a^{x+y} $.
Dopo queste considerazioni ovvie, cosa abbiamo concluso? Che $ a^{x+y} $ è un numero compreso tra tutti i numeri della forma $ a^{x''}a^{y''} $ con x''>x,y''>y e $ a^{x'}a^{y'} $ con x'<x> a^{x'}[/tex] per ogni x'<x. Di nuovo, per definizione di potenza, otteniamo:
$ ~ \frac{a^{x+y}}{a^y} \ge a^x $
da cui $ ~ a^{x+y} \ge a^xa^y $.
Se fai lo stesso ragionamento "girato", applicendo la definizione di potenza reale come inf di cose invece che di sup, ottieni $ ~ a^{x+y} \le a^xa^y $. e concludi.
Un punto chiave è dimostrare che quei sup e inf coincidono (tu lo dai per scontato ma mi pare di ricordare che non è banalissimo).
Una volta fatto questo, le proprietà sui reali seguono dal fatto che le proprietà sono vere per i razionali, senza aggiungere molto altro.
Proviamo a dimostrare che $ ~ a^{x+y}= a^xa^y $. (prendo a>1)
Diciamo che voglio in qualche modo applicare la proprietà sui razionali, che lì so già che è valida. Allora dovrò prendere due numeri razionali, no?
Se x',y' sono razionali con x'<x e y'<y (che penserò come "vicini" ad x,y),abbiamo che:
$ ~ a^{x+y} > a^{x'+y'} $, ora che ho dei razionali posso applicare la prop. sui razionali:
$ a^{x'+y'} = a^{x'}a^{y'} $.
Allo stesso modo, se prendevo x''>x ed y''>y, trovavo $ ~ a^{x''}a^{y''} > a^{x+y} $.
Dopo queste considerazioni ovvie, cosa abbiamo concluso? Che $ a^{x+y} $ è un numero compreso tra tutti i numeri della forma $ a^{x''}a^{y''} $ con x''>x,y''>y e $ a^{x'}a^{y'} $ con x'<x, y'<y.
C'è un altro numero che ha questa proprietà: è proprio $ a^xa^y $ (per motivi altrettanto ovvi).
Ora se riuscissimo a dimostrare che $ a^{x+y} $ e $ a^xa^y $ sono troppo vicini,incastrati per essere distinti... avremmo finito.
Si può fare così (sfruttando la coincidenza tra sup e inf di cui ho parlato all'inizio, che in pratica dice che a^x è continua).
Usando la stessa notazione di prima, fissiamo un x'.
$ \frac{a^{x+y}}{a^{x'}} $ è un numero che è maggiore di tutti gli $ a^{y'} $, con y'<y. Quindi, per definizione di potenza reale come sup di quei numeri, è maggiore o uguale[/tex] ad $ a^y $. Questo, per ogni x'. Rigirando tutto, otteniamo che:
$ ~ \frac{a^{x+y}}{a^y} > a^{x'} $ per ogni x'<x. Di nuovo, per definizione di potenza, otteniamo:
$ ~ \frac{a^{x+y}}{a^y} \ge a^x $
da cui $ ~ a^{x+y} \ge a^xa^y $.
Se fai lo stesso ragionamento "girato", applicendo la definizione di potenza reale come inf di cose invece che di sup, ottieni $ ~ a^{x+y} \le a^xa^y $. e concludi.
Una volta fatto questo, le proprietà sui reali seguono dal fatto che le proprietà sono vere per i razionali, senza aggiungere molto altro.
Proviamo a dimostrare che $ ~ a^{x+y}= a^xa^y $. (prendo a>1)
Diciamo che voglio in qualche modo applicare la proprietà sui razionali, che lì so già che è valida. Allora dovrò prendere due numeri razionali, no?
Se x',y' sono razionali con x'<x e y'<y (che penserò come "vicini" ad x,y),abbiamo che:
$ ~ a^{x+y} > a^{x'+y'} $, ora che ho dei razionali posso applicare la prop. sui razionali:
$ a^{x'+y'} = a^{x'}a^{y'} $.
Allo stesso modo, se prendevo x''>x ed y''>y, trovavo $ ~ a^{x''}a^{y''} > a^{x+y} $.
Dopo queste considerazioni ovvie, cosa abbiamo concluso? Che $ a^{x+y} $ è un numero compreso tra tutti i numeri della forma $ a^{x''}a^{y''} $ con x''>x,y''>y e $ a^{x'}a^{y'} $ con x'<x, y'<y.
C'è un altro numero che ha questa proprietà: è proprio $ a^xa^y $ (per motivi altrettanto ovvi).
Ora se riuscissimo a dimostrare che $ a^{x+y} $ e $ a^xa^y $ sono troppo vicini,incastrati per essere distinti... avremmo finito.
Si può fare così (sfruttando la coincidenza tra sup e inf di cui ho parlato all'inizio, che in pratica dice che a^x è continua).
Usando la stessa notazione di prima, fissiamo un x'.
$ \frac{a^{x+y}}{a^{x'}} $ è un numero che è maggiore di tutti gli $ a^{y'} $, con y'<y. Quindi, per definizione di potenza reale come sup di quei numeri, è maggiore o uguale[/tex] ad $ a^y $. Questo, per ogni x'. Rigirando tutto, otteniamo che:
$ ~ \frac{a^{x+y}}{a^y} > a^{x'} $ per ogni x'<x. Di nuovo, per definizione di potenza, otteniamo:
$ ~ \frac{a^{x+y}}{a^y} \ge a^x $
da cui $ ~ a^{x+y} \ge a^xa^y $.
Se fai lo stesso ragionamento "girato", applicendo la definizione di potenza reale come inf di cose invece che di sup, ottieni $ ~ a^{x+y} \le a^xa^y $. e concludi.