Quadrati e congruenze modulo 3

[gismondo]

Ciao,
mi rendo conto che la domanda è elementare, ma non sono molto esperto...
Come si dimostra che se $ n \equiv 2 \pmod 3 $ allora non è un quadrato??
Avevo pensato per assurdo ma vorrei sentire voi che siete più bravi...

[geda]

Ciao,
mi rendo conto che la domanda è elementare, ma non sono molto esperto...
Come si dimostra che se $ n \equiv 2 \pmod 3 $ allora non è un quadrato??
Avevo pensato per assurdo ma vorrei sentire voi che siete più bravi...

Allora, per ogni$ n $ si possono verificare i seguenti casi $ n\equiv 0,1,2 \pmod 3 $, quindi per $ n^2 $ avrai $ n^2\equiv 0, 1, 4 \pmod 3 $ rispettivamente, cioe' $ n^2\equiv 0,1,1 \pmod 3 $. Come vedi non puo' esserci il $ 2 $.

[gismondo]

Ok grazie...

[geda]

Ok grazie...

you're welcome

[SkZ]

piu' in generale

$ ~x\equiv 0,\pm1,\pm2,\dots \pmod{n}\Rightarrow x^2\equiv 0,1,4,\dots \pmod{n} $

inoltre da notare che se $ ~n=4m $
$ ~x-\frac n2\equiv 0,\pm1,\pm2,\dots \pmod{n}\Rightarrow x^2\equiv 0,1,4,\dots \pmod{n} $

per questo spesso si usano appunto i residui quadratici modulo 3, 4 e 8 (ci sono pochi casi da gestire )