Ciao a tutti!
Volevo chiedere se qualcuno riuscisse a risolvere il problema 11 della gara nazionale a squadre del 2002, visto che si trovano solo i risultati senza soluzione; io sono arrivato fino ad un certo punto ma poi non trovo il modo per andare avanti.. copio testo e risultato:
Il link, in cui si trovano sia esercizio che soluzione è questo:
http://andfog.altervista.org/math/
Grazie mille a chiunque riuscisse ad aiutarmi!
Probema gara a squadre; potreste aiutarmi?
Il problema è "I sassolini di Carla", giusto?
Se abbiamo $ n $ mucchietti con $ 1,\ldots,n $ sassolini, abbiamo in totale $ \frac{n(n+1)}{2} $ sassolini. L'insieme dei sassolini viene diviso in due parti uguali, quindi ognuna delle due ha $ \frac{n(n+1)}{4} $ sassolini. Spostando $ x $ sassolini da un mucchietto all'altro otteniamo un mucchietto da $ \frac{n(n+1)+4x}{4} $ e uno da $ \frac{n(n+1)-4x}{4} $ sassolini, dunque abbiamo che
$ \frac{n(n+1)+4x}{4}=\frac{4}{3}\frac{n(n+1)-4x}{4} $
$ 28x=n(n+1) $
Poiché $ x $ e $ n $ sono naturali, abbiamo due casi:
$ (n,x)=(28,29) $, impossibile perché $ x\le n $
$ (n,x)=(27,27) $, che porta alla soluzione $ 0027 $
Non dovrebbero esserci errori, correggetemi se sbaglio
Se abbiamo $ n $ mucchietti con $ 1,\ldots,n $ sassolini, abbiamo in totale $ \frac{n(n+1)}{2} $ sassolini. L'insieme dei sassolini viene diviso in due parti uguali, quindi ognuna delle due ha $ \frac{n(n+1)}{4} $ sassolini. Spostando $ x $ sassolini da un mucchietto all'altro otteniamo un mucchietto da $ \frac{n(n+1)+4x}{4} $ e uno da $ \frac{n(n+1)-4x}{4} $ sassolini, dunque abbiamo che
$ \frac{n(n+1)+4x}{4}=\frac{4}{3}\frac{n(n+1)-4x}{4} $
$ 28x=n(n+1) $
Poiché $ x $ e $ n $ sono naturali, abbiamo due casi:
$ (n,x)=(28,29) $, impossibile perché $ x\le n $
$ (n,x)=(27,27) $, che porta alla soluzione $ 0027 $
Non dovrebbero esserci errori, correggetemi se sbaglio
Scusami tanto, sono proprio un idiota..
Il problema di cui non riesco a trovareuna soluzione è il numero 14; le biglie di Carla; comunque tu sei stato gentilissimo, e cmq è stata molto utile anche quella che hai proposto.. grazie mille davvero!
Se potessi darmi una mano anche per il 14 sarebbe il massimo.. Cmq grazie mille in ogni caso..
Il problema di cui non riesco a trovareuna soluzione è il numero 14; le biglie di Carla; comunque tu sei stato gentilissimo, e cmq è stata molto utile anche quella che hai proposto.. grazie mille davvero!
Se potessi darmi una mano anche per il 14 sarebbe il massimo.. Cmq grazie mille in ogni caso..
Io ho impostato così, senza troppi calcoli e pippe varie:
Un gruppo da 2 biglie può "generare"
una coppia,
nessuna terna,
nessuna quaterna
Un gruppo da 3 biglie genera
3 coppia
1 terna
0 quatera
Un gruppo da 4 genera
6 coppia
3 terna
1 quaterna
E così via, ovvero, le combinazioni di n elementi nel gruppo a gruppi di 2, 3 o 4.
Compili una tabellina e scopri che con 9 biglie in un gruppo genereresti 126 quaterne, quindi il gruppo (o gruppi) più bigliosi conterranno al massimo 8 biglie
Con 8 biglie hai
28 coppia
56 terna
70 quaterna
Da cui concludi che hai un solo gruppo con 8 biglie (se ce ne fossero due, il nonno conterebbe almeno 140 quaterne)
Ti restano da sistemare
72 coppia
44 terna
30 quaterna
Con 7 biglie generi 35 quaterna, troppe (con le 70 di prima faresti 105) allora se c'è un gruppo da 8 biglie non può essercene uno da 7
Con 6 biglie hai
15 coppia
20 terna
15 quaterna
Allora al gruppo da 8 biglie di prima ne aggiungiamo 2 da 6 biglie ciascuno, consumando il numero di quaterne. Restano da allocare 4 terne e 42 coppie
Non possiamo più scegliere gruppi da più di 3 biglie, altrimenti riusciremmo a contare altre quaterne. Quindi considereremo gruppi da 3 biglie ciascuno
Con 4 gruppi di 3 biglie sistemiamo le terne mancanti e ci restano da allocare 30 coppie
Scegliamo 30 gruppi da 2 biglie e abbiamo finito.
In totale quindi 8 + 2 x 6 + 4 x 3 + 30 x 2 = 92
Un gruppo da 2 biglie può "generare"
una coppia,
nessuna terna,
nessuna quaterna
Un gruppo da 3 biglie genera
3 coppia
1 terna
0 quatera
Un gruppo da 4 genera
6 coppia
3 terna
1 quaterna
E così via, ovvero, le combinazioni di n elementi nel gruppo a gruppi di 2, 3 o 4.
Compili una tabellina e scopri che con 9 biglie in un gruppo genereresti 126 quaterne, quindi il gruppo (o gruppi) più bigliosi conterranno al massimo 8 biglie
Con 8 biglie hai
28 coppia
56 terna
70 quaterna
Da cui concludi che hai un solo gruppo con 8 biglie (se ce ne fossero due, il nonno conterebbe almeno 140 quaterne)
Ti restano da sistemare
72 coppia
44 terna
30 quaterna
Con 7 biglie generi 35 quaterna, troppe (con le 70 di prima faresti 105) allora se c'è un gruppo da 8 biglie non può essercene uno da 7
Con 6 biglie hai
15 coppia
20 terna
15 quaterna
Allora al gruppo da 8 biglie di prima ne aggiungiamo 2 da 6 biglie ciascuno, consumando il numero di quaterne. Restano da allocare 4 terne e 42 coppie
Non possiamo più scegliere gruppi da più di 3 biglie, altrimenti riusciremmo a contare altre quaterne. Quindi considereremo gruppi da 3 biglie ciascuno
Con 4 gruppi di 3 biglie sistemiamo le terne mancanti e ci restano da allocare 30 coppie
Scegliamo 30 gruppi da 2 biglie e abbiamo finito.
In totale quindi 8 + 2 x 6 + 4 x 3 + 30 x 2 = 92