Trovare una formula chiusa per la seguente successione
$ \displaystyle a_{n+1}=\frac{4a_n+2}{a_n+3} $, con $ a_0=k $
Successione
Poniamo (1) $ \displaystyle a_n=\frac{1}{u_n}-1 $ ed in tal modo,a conti fatti, la ricorrenza diventa: $ \displaystyle 5u_{n+1}-2u_n=1 $
Si tratta di un'ordinaria equazione alle differenze ( finite ) non omogenea.
Una soluzione particolare è $ \displaystyle u_n=\frac{1}{3} $ e l'equazione omogenea associata è: $ \displaystyle 5u_{n+1}-2u_n=0 $
L'equazione caratteristica di quest'ultima relazione è :$ \displaystyle 5\lambda^{n+1}-2\lambda^{n}=0 $ la cui soluzione ,prescindendo dalle radici nulle, è $ \displaystyle \lambda=\frac{2}{5} $
In definitiva la soluzione generale è : $ \displaystyle u_n=C \cdot (\frac{2}{5})^n+\frac{1}{3} $
Ritornando alla $ \displaystyle a_n $ tramite la (1) ,con qualche passaggio risulta:
$ \displaystyle a_n=\frac{2\cdot 5^n-3C\cdot 2^n}{3C\cdot 2^n+5^n} $
Determiniamo ora la C con le condizioni iniziali.Per n=0 abbiamo:
$ \displaystyle k=\frac{2-3C}{3C+1} $ da cui $ \displaystyle 3C=\frac{2-k}{k+1} $
Ed infine:
$ a_n=\displaystyle \frac{2(k+1) \cdot 5^n-(2-k) \cdot 2^n}{(k+1)\cdot 5^n+(2-k)\cdot 2^n} $
Si tratta di un'ordinaria equazione alle differenze ( finite ) non omogenea.
Una soluzione particolare è $ \displaystyle u_n=\frac{1}{3} $ e l'equazione omogenea associata è: $ \displaystyle 5u_{n+1}-2u_n=0 $
L'equazione caratteristica di quest'ultima relazione è :$ \displaystyle 5\lambda^{n+1}-2\lambda^{n}=0 $ la cui soluzione ,prescindendo dalle radici nulle, è $ \displaystyle \lambda=\frac{2}{5} $
In definitiva la soluzione generale è : $ \displaystyle u_n=C \cdot (\frac{2}{5})^n+\frac{1}{3} $
Ritornando alla $ \displaystyle a_n $ tramite la (1) ,con qualche passaggio risulta:
$ \displaystyle a_n=\frac{2\cdot 5^n-3C\cdot 2^n}{3C\cdot 2^n+5^n} $
Determiniamo ora la C con le condizioni iniziali.Per n=0 abbiamo:
$ \displaystyle k=\frac{2-3C}{3C+1} $ da cui $ \displaystyle 3C=\frac{2-k}{k+1} $
Ed infine:
$ a_n=\displaystyle \frac{2(k+1) \cdot 5^n-(2-k) \cdot 2^n}{(k+1)\cdot 5^n+(2-k)\cdot 2^n} $
Domanda forse stupida: che 'trucchetto' hai usato per trovare come definire $ u_n $ in modo che saltasse fuori una ricorrenza lineare?
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
In realtà si tratta di un "espediente " abbastanza noto per quel tipo di ricorrenza. Se si ha una relazione come:
$ \displaystyle a_{n+1}=\frac{a\cdot a_n+b}{c\cdot a_n+d} $
allora se è ad-bc=0 la frazione a secondo membro si semplifica,la ricorrenza diventa lineare e va per conto suo.
Altrimenti si pone $ \displaystyle a_n=\frac{1}{u_n}+c $ e si cerca di annullare il coefficiente di $ \displaystyle u_n \cdot u_{n+1} $ in modo da "linearizzare" l'equazione.
Nel nostro caso facendo i calcoli si trova che il coefficiente in questione è $ \displaystyle c^2-c-2 $ le cui radici sono $ \displaystyle c_1=-1,c_2=2 $.Ho scelto la prima radice che porta a calcoli leggermente più semplici.
$ \displaystyle a_{n+1}=\frac{a\cdot a_n+b}{c\cdot a_n+d} $
allora se è ad-bc=0 la frazione a secondo membro si semplifica,la ricorrenza diventa lineare e va per conto suo.
Altrimenti si pone $ \displaystyle a_n=\frac{1}{u_n}+c $ e si cerca di annullare il coefficiente di $ \displaystyle u_n \cdot u_{n+1} $ in modo da "linearizzare" l'equazione.
Nel nostro caso facendo i calcoli si trova che il coefficiente in questione è $ \displaystyle c^2-c-2 $ le cui radici sono $ \displaystyle c_1=-1,c_2=2 $.Ho scelto la prima radice che porta a calcoli leggermente più semplici.
Decisamente utile a sapersi! 
Grazie.
Grazie.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
