Coseno

In questo forum vengono proposti i sondaggi che verranno fatti sul sito delle olimpiadi

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Ospite

Messaggio da Ospite » 01 gen 1970, 01:33

Quant\' è il coseno di 90°?
<BR>Rispondete per piacere, sono disperato e non riesco a capire.
<BR>

Davide_Grossi
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Messaggio da Davide_Grossi » 01 gen 1970, 01:33

Il coseno di 90°, scritto anche cos(90°), è pari a zero. Immagina una circonferenza di raggio 1 con centro nell\'origine O degli assi cartesiani, e fissa un punto A su di essa. Ora prendi il punto B di coordinate (1,0): l\'angolo BOA sia detto Alfa.
<BR>Per farla breve breve, associ a coseno la \"larghezza\" dell\'angolo, mentre al seno associ l\'\"altezza\". Per trovare i valori del coseno di un angolo, basta infatti tracciare la distanza che separa il punto sulla circonferenza dall\'asse delle ordinate: se il punto è nel semipiano destro, questa sarà presa con segno positivo, se invece si trova nel semipiano sinistro, sarà presa con segno negativo. In modo analogo per il seno, prendendo le distanze dall\'asse delle ascisse positive se il punto è nel semipiano superiore, negative se si trova in quello inferiore.
<BR>
<BR>Ora vedi bene che per un angolo di 90°, il punto A si trova esattamente sull\'asse delle ordinate, per cui la sua distanza dallo stesso è pari a zero.
<BR>
<BR>Questo molto terra terra, giusto per \"fare\". Per capire, un libro di 3° o 4° liceo va benissimo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Ciao!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Davide_Grossi il 21-01-2004 18:54 ]
Davide Grossi

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Oh, che bello! Si parla di <!-- BBCode Start --><I>seni</I><!-- BBCode End --> e di coseni... e allora, state un po\' a sentire quel che vi propongo! Non è nulla di che... una sciocchezzuola, ne son convinto! Ma non per questo indegna delle vostre attenzioni... e allora, ecco la questione:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Problema</B><!-- BBCode End -->: determinar, qualora esista, un numero primo q > 3 tale che cos(Pi/q) sia razionale.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Seno-variante</B><!-- BBCode End -->: determinar, qualora esista, un numero primo q > 2 tale che
<BR>sin(Pi/q) sia razionale.
<BR>
<BR>Buon lavoro e tanti auguri... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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J4Ck202
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Messaggio da J4Ck202 » 01 gen 1970, 01:33

Ammettiamo che cos(pi/n), con n primo maggiore di 3, sia razionale.
<BR>Per le formule di moltiplicazione del coseno (alias polinomi di
<BR>Chebyshev) avremo che anche cos(2pi/n), cos(4pi/n), cos(6pi/n)
<BR>eccetera saranno razionali.
<BR>
<BR>Ora: prendiamo il polinomio (x^n - 1)/(x - 1). Prendiamo le sue
<BR>radici nel piano di Gauss ed \"accoppiamo\" ciascuna col suo
<BR>coniugato. A questo punto possiamo scrivere
<BR>
<BR>(x^n - 1)/(x - 1) = prod[j=1..(n-1)/2] (x^2 - 2 cos (2 Pi j / n) x + 1)
<BR>
<BR>Avremo dunque una scomposizione di (x^n - 1)/(x - 1) su Q.
<BR>Ma ciò è assurdo, in quanto tale polinomio è irriducibile su Q
<BR>per il criterio di Eisenstein : basta operare la sostituzione
<BR>x=(y+1). Ciò implica che cos(pi/n) con n primo maggiore di
<BR>3 non può assumere MAI valori razionali.
<BR>
<BR>Per il seno un discorso sostanzialmente identico, non mi dilungo.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: J4Ck202 il 23-01-2004 15:51 ]

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Bene, constatiamo con piacere che Jack ha corretto finalmente, giusto un poco, il suo stile notoriamente <!-- BBCode Start --><I>criptografico</I><!-- BBCode End -->, a solo vantaggio di una più agevole comprensione dei suoi <!-- BBCode Start --><I>telegrafici</I><!-- BBCode End --> interventi da parte di noi altri ignorantelli... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>E allora, siccome la sua soluzione alquanto ci è piaciuta e poiché il problema qui discusso è davvero interessante, suggerendo nuovi spunti di approfondimento e nuovi metodi d\'indagine ai ragazzi già ferrati sulle tematiche di carattere più propriamente olimpionico, diremmo che si potrebbe continuar su questa stessa linea e rilanciare ulterioremente coi seguenti:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Problema i)</B><!-- BBCode End -->: determinare, qualor ne esista alcuna, la totalità delle coppie (p, k)€N<sup>2</sup> tali che cos(Pi/p<sup>k</sup>) sia un numero razionale, essendo p un primo e k > 1.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Problema ii)</B><!-- BBCode End -->: determinare, qualor ne esista alcuna, la totalità delle coppie (n, k)€N<sup>2</sup> tali che cos(Pi/n<sup>k</sup>) sia un numero razionale, essendo min{n, k} > 1.
<BR>
<BR>
<BR>Buon lavoro, dunque... e ancora tanti auguri... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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Ospite

Messaggio da Ospite » 01 gen 1970, 01:33

che cavolo di insieme é N alla seconda?

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Uhm... lascio ad altri il piacere di risponderti, caro amico <!-- BBCode Start --><I>anonimo</I><!-- BBCode End -->... non so perché, ma c\'è qualcosa che mi puzza in tutto questo, e non è il mio pannolone, sicché... <!-- BBCode Start --><B>UP UP UPPU</B><!-- BBCode End -->!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
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dieciottantunesimi
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Messaggio da dieciottantunesimi » 01 gen 1970, 01:33

Io non gli rispondo di certo![addsig]
<img src="http://www.ocf.berkeley.edu/~wwu/YaBBImages/avatars/run_in_box.gif">

Ospite

Messaggio da Ospite » 01 gen 1970, 01:33

sono lo stesso anonimo che ha aperto questo topic, approfitto x ringraziare davide x la risposta esauriente e ora vi chiedo se per cortesia mi spiegate anche cos\'é N <sup>2</sup>, grazie in anticipo

J4Ck202
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Messaggio da J4Ck202 » 01 gen 1970, 01:33

<BR> Il prodotto cartesiano di N con se stesso, ovvero l\'insieme
<BR> delle coppie (a;b) tali che sia a che b stanno in N (l\'insieme
<BR> dei numeri naturali, ovvero lo zero e gli interi positivi)
<BR>

Humpty_Dumpty
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Messaggio da Humpty_Dumpty » 01 gen 1970, 01:33

Salve a tutti! E\' il primo messaggio che invio sul forum e spero sarò accolto con benevolenza.
<BR>Ho letto con interesse gli ultimi post e in particolare mi ha colpito la risposta di Jack al problema sottoposto da Euler. Volevo avere informazioni a riguardo dei polinomi di Chebyshev per la moltiplicazione del coseno. Ho già guardato sul sito mathworld.wolfram.com ma le informazioni sono troppo.... high-level per me. C\'è qualche anima pia che ha un attimo di tempo e un po\' di buona volontà per spiegarmi queste formule?
Chi mi vorra' superare potra' andare in larghezza, ma non in profondita'. (A. Schopenhauer)

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-24 19:07, Humpty_Dumpty wrote:
<BR>Ho letto con interesse gli ultimi post e in particolare mi ha colpito la risposta di Jack al problema sottoposto da Euler. Volevo avere informazioni a riguardo dei polinomi di Chebyshev per la moltiplicazione del coseno. Ho già guardato sul sito mathworld.wolfram.com ma le informazioni sono troppo.... high-level per me. C\'è qualche anima pia che ha un attimo di tempo e un po\' di buona volontà per spiegarmi queste formule?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Beh, non sono sicuro d\'essere un\'anima pia, ma siccome oggi ci ho la luna dritta, ho deciso che mi starai simpatico, per cui... vediamo un po\' di rispondere compiutamente alla tua <!-- BBCode Start --><I>pacifica</I><!-- BBCode End --> interrogazione!
<BR>
<BR>Siano x€R ed n un qualunque intero > 0. Dalle identità di Eulero nonché pure dalla formula di Newton per lo sviluppo della potenza m-esima di un binomio, risulta che:
<BR>
<BR>cos<sup>n</sup>(x) = [(e<sup>ix</sup>+e<sup>-ix</sup>)/2]<sup>n</sup> = 1/(2<sup>n</sup>)*sum[k=0...n] B(n,k) e<sup>j(n-k)x</sup> e<sup>-jkx</sup> =
<BR>= 1/(2<sup>n</sup>)*sum[k=0...n] B(n,k) e<sup>j(n-2k)x</sup>
<BR>
<BR>sin<sup>n</sup>(x) = [(e<sup>ix</sup>-e<sup>-ix</sup>)/(2j)]<sup>n</sup> = 1/(j<sup>n</sup> 2<sup>n</sup>)*sum[k=0...n] (-1)<sup>k</sup> B(n,k) e<sup>j(n-k)x</sup> e<sup>-jkx</sup> =
<BR>= 1/(j<sup>n</sup> 2<sup>n</sup>)*sum[k=0...n] (-1)<sup>k</sup> B(n,k) e<sup>j(n-2k)x</sup>
<BR>
<BR>ove B(n,k) indica il coefficiente binomiale di ordine (n, k) e j è posto eguale alla radice quadra di -1. Ora, assumiamo n = 2q, con q€N\\{0}, in corrispondenza delle precedenti relazione. Ne discende evidentemente che:
<BR>
<BR>cos<sup>2q</sup>(x) = 1/(2<sup>2q</sup>)*sum[k=0...2q] B(2q,k) e<sup>2j(q-k)x</sup> =
<BR>= [(2q-1)!!/(2q)!!] + (1/2<sup>2q</sup>)*sum[k=0...q-1] B(2q,k)*[e<sup>2j(q-k)x</sup>+e<sup>-2j(q-k)x</sup>] =
<BR>= [(2q-1)!!/(2q)!!] + (1/2<sup>2q-1</sup>)*sum[k=0...q-1] B(2q,k)*cos[2(q-k)x] =
<BR>[(2q-1)!!/(2q)!!] + (1/2<sup>2q</sup>)*sum[h=1...q] B(2q,q-h)*cos[2hx]
<BR>
<BR>sin<sup>2q</sup>(x) = [(-1)<sup>q</sup>/2<sup>2q</sup>]*sum[k=0...2q] (-1)<sup>k</sup> B(2q,k) e<sup>2j(q-k)x</sup> =
<BR>=[(2q-1)!!/(2q)!!]+(1/2<sup>2q</sup>)*sum[k=0..q-1] (-1)<sup>q-k</sup>B(2q,k)*[e<sup>2j(q-k)x</sup>+e<sup>-2j(q-k)x</sup>]=
<BR>= [(2q-1)!!/(2q)!!] + (1/2<sup>2q-1</sup>)*sum[k=0...q-1] (-1)<sup>q-k</sup> B(2q,k)*cos[2(q-k)x] =
<BR>= [(2q-1)!!/(2q)!!]+(1/2<sup>2q-1</sup>)*sum[h=1...q] (-1)<sup>h</sup> B(2q,q-h)*cos(2hx)
<BR>
<BR>pur di considerare (come noto) che: B(p,k) = B(p,p-k), per ogni p€N ed ogni k=0,1,...,p. Analoghe relazioni è possibile ricavare per le funzioni f(x) := cos<sup>n</sup>(x) e g(x) := sin<sup>n</sup>(x), per x€R ed n intero positivo di valenza dispari. Mi risparmio e vi risparmio questo masochistico stillicidio! Adieu, alla prossima...
<BR>
<BR>P.S.: presumo che Jack intendesse riferirsi a queste formule, nel corso della sua dimostrazione. Per conferma, tuttavia, suggerirei di rivolgersi direttamente al suddetto. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 27-01-2004 23:55 ]
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