Il teorema + bello!

In questo forum vengono proposti i sondaggi che verranno fatti sul sito delle olimpiadi

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

a me piace
<BR>
<BR>e<sup>xi</sup>=cosx+i*senx
<BR>
<BR>ma anche la formula citata da jack mi ha molto impressionato, soprattuto il metodo con cui il buon vecchio Eulero l\'ha ricavata
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euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-23 23:02, psion_metacreativo wrote:
<BR>se ho capito bene quindi il valor principale si può calcolare solo nelle funzioni discontinue? cmq a parte questo e l\'utilità di questo valor principale ho capito tutto grazie euler
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Psion, direi che le tue considerazioni sono tutt\'altro che indegne di attenzioni, anzi rivelano curiosità, sensibilità Matematica, adeguate capacità speculative, anche a livello teoretico, ché sulle tue abilità di <!-- BBCode Start --><I>problem-solver</I><!-- BBCode End -->, per dirla come il buon vecchio Gardner, nutro ormai da un pezzo, come tutti d\'altra parte (son convinto) qui sul forum, un giudizio incondizionatamente positivo. E poco importa se i miei tanti estimatori... avranno a ravvisare falsità e menzogna nelle mie parole di stima ne\' tuoi riguardi: è pacifico ch\'io non possa preoccuparmi oltre misura delle loro insulse insinuazioni e privarmi di conseguenza del piacere di riconoscere, a te come ad altri e fra questi a molti dei miei stessi detrattori, il mio umile e insignificante apprezzamento.
<BR>
<BR>Detto ciò, vediamo di rispondere un po\' alle tue domande. E allora, per quanto riguarda la prima osservazione, il problema è di facile soluzione. Supponiamo infatti che sia f(-): (a,b) --> R una funzione reale di variabile reale Riemann-integrabile in senso ordinario sull\'intervallo di definizione (si suppone che siano a,b€R, con a < b). In tal caso, poniamo semplicemente per definizione:
<BR>
<BR>v.p. int[a...b] f(x) dx := int[a...b] f(x) dx
<BR>(quello a secondo membro è un integrale ordinario di Riemann)
<BR>
<BR>Consideriamo, come ipotesi ulteriore (giusto per rifinire un po\' meglio il quadro generale della nostra discussione, ancorché molt\'altro verbo si dovrebbe spendere per concludere definitivamente il discorso sugli integrali generalizzati), il caso di una funzione g(-): (a,b) --> R che presenti una discontinuità di II specie (destra o sinistra) in corrispondenza di un solo estremo del suo intervallo di definizione e che tuttavia risulti Riemann-integrabile in senso generalizzato su questo medesimo intervallo, secondo la definizione che già ho fornito in uno dei miei precedenti interventi sul topic. Beh, in quest\'occorrenza, si porrà (ancora per definizione):
<BR>
<BR>v.p. int[a...b] f(x) dx := int[a...b] f(x) dx
<BR>(quello a secondo membro è un integrale generalizzato di Riemann)
<BR>
<BR>In altre parole, se f(-) è integrabile nel senso ordinario di Riemann su (a,b) oppure, essendo discontinua a un estremo di anzidetto intervallo, risulta comunque ivi integrabile secondo Riemann in senso generalizzato, allora il valor principale secondo Cauchy dell\'integrale (riemaniano) della f(-) esteso all\'intervallo (a,b) coincide <!-- BBCode Start --><I>sic et simpliciter</I><!-- BBCode End --> con l\'integrale (ordinario o generalizzato) della f(-) in (a,b) nel senso di Riemann. Spero d\'essere stato chiaro.
<BR>
<BR>Ciò stabilito, passiamo adesso alla seconda questione di cui tu domandi. Vuoi sapere qual è l\'utilità di introdurre il valor principale secondo Cauchy nell\'ambito della teoria degli integrali? Beh, la risposta dovrebbe esserti piuttosto evidente, alla luce di tutto quanto si è detto sinora. E consiste essenzialmente nella considerazione che l\'introduzione di questo nuovo concetto consente di estendere <!-- BBCode Start --><B>notevolmente</B><!-- BBCode End --> la classe delle funzioni integrabili (nel nostro caso, Riemann-integrabili, ma il discorso resta valido anche nel caso della più sofisticata teoria integrale di Lebesgue); la qual condizione trova un\'immediata conseguenza in tutta una serie di applicazioni fondamentali di livello piuttosto avanzato; penso all\'Analisi Superiore e alla Teoria delle Trasformate: Fourier, Laplace, Mellin, Hilbert, trasformata Zeta e così via discorrendo. Con questo concludo, sperando d\'essere stato chiaro e di aver centrato il senso delle tue domande, Psion, e di conseguenza della mia replica. Ciao e alla prossima.
<BR>
<BR>Salvo alias euler_25
<BR>
<BR>P.S.: adesso però vedete un po\' di trovare l\'imprecisione contenuta nel testo del mio primo intervento sul logaritmo integrale e il teorema dei numeri primi. E\' una sciocchezza, ma potrebbe essere un utile esercizio per testare il vostro livello di comprensione degli argomenti trattati. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 29-01-2004 10:24 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>

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psion_metacreativo
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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

Da quel che ho capito l\'imprecisione è la seguente:
<BR>
<BR>hai scritto
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>
<BR>Li(x) := v.p. int[0...x]1/log(t) dt
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>quindi da quel che scrivi te
<BR>
<BR>li(x) := lim (e->0+) int [0...1-e] 1/log(t) dt + int[1+e...+inf] 1/log(t) dt
<BR>
<BR>ma in 0, e in 1, 1/log(t) non esiste
<BR>quindi avresti dovuto esplicitare così:
<BR>
<BR>se x<1
<BR>
<BR>Li(x) :=lim (e-> 0+) int[e...x] 1/log(t) dt
<BR>
<BR>se x>1
<BR>
<BR>Li(x) :=lim (e-> 0+) int[e...1-e] 1/log(t) dt + int[1+e...x] 1/log(t) dt
<BR>
<BR>non so se era questo quello che intendevi te....
<BR>
<BR>P.S.
<BR>troppo buono come me, inutili tutti quei complimenti c\'è gente molto più brava di me in questo sito.....
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: psion_metacreativo il 29-01-2004 23:04 ]

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-29 22:41, psion_metacreativo wrote:
<BR>...ma in 0, e in 1, 1/log(t) non esiste... quindi avresti dovuto esplicitare così:
<BR>
<BR>se x<1
<BR>
<BR>Li(x) :=lim (e-> 0+) int[e...x] 1/log(t) dt
<BR>
<BR>se x>1
<BR>
<BR>Li(x) :=lim (e-> 0+) int[e...1-e] 1/log(t) dt + int[1+e...x] 1/log(t) dt
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Innanzitutto, quantunque sia vero (sì come tu dici) che la funzione reale di variabile reale assegnata ponendo f(t) := 1/log(| t |) sia definita per t != 0 e
<BR>t != ±1, dacché la sua espressione perde evidentemente di significato in corrispondenza dei punti così esclusi, è anche vero (tuttavia) che essa risulta chiaramente prolungabile per continuità nel punto 0, e dunque in particolare Riemann-integrabile (in senso ordinario!) in un intorno destro (sufficientemene piccolo) dell\'origine. Tutt\'altra storia il discorso che riguarda il punto x<sub>0</sub> = 1. Difatti, detto punto rappresenta in tutta evidenza una discontinuità di II specie per la f(-), e pertanto l\'integrazione della medesima funzione su ogni intervallo della forma (0, x), con x ≥ 1, presuppone il ricorso alla definizione generalizzata dell\'integrale riemaniano, che tuttavia in questo caso <!-- BBCode Start --><B>non è convergente</B><!-- BBCode End -->. Basta difatti considerare che, qualunque sia x ≥ 1, l\'esistenza dell\'integrale improprio della f(-) in (0, x) presuppone (fra l\'altro) la finitezza del limite:
<BR>
<BR>lim<sub>e->0<sup>+</sup></sub> int[0...1-e] f(x) dx
<BR>
<BR>il quale, pur esistendo, è tuttavia divergente (provare per credere!). Questa constatazione dimostra perciò due fatti: i) f(-) non può essere integrata alla Riemann in senso generalizzato (né tanto meno in senso ordinario) sul generico intervallo della forma (0, x), con x ≥ 1; ii) f(-) non risulta conseguentemente Riemann-integrabile in valor principale (secondo Cauchy) sull\'intervallo (0, 1). Dunque, ne fa seguito che, nell\'introdurre il logaritmo integrale nei termini da me in origine adottati, ossia secondo la relazione:
<BR>
<BR>Li(-): ]0,+inf[ --> R: x --> v.p. int[0...x] f(t) dt
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>è necessario</B><!-- BBCode End --> in effetti operare una <!-- BBCode Start --><I>correzione sul dominio</I><!-- BBCode End --> di questa funzione, ossia supporre x > 1, onde garantirne (formalmente) una corretta definizione. Ché d\'altra parte, questa assunzione è sufficiente a fissare ogni problema lasciato in sospeso, datosi che il valor principale dell\'integrale riemaniano della f(-) in (0, x), per x > 1, si mostra essere banalmente convergente. FINE.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 30-01-2004 10:57 ]
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anteo_07
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Messaggio da anteo_07 » 01 gen 1970, 01:33

L\'ultimo Teorema di Fermat ha qualcosa di magico nella sua prepotente semplicità, basta leggerlo:
<BR>X^n+Y^n=Z^n
<BR>non ammette soluzioni banali in N per n>2!
<BR>Questo è secondo me il teorema + bello!
<BR>Per quanto, in verità, non ne conosca poi tantissimi tra gli altri mi affascina molto la congettura di Goldbach e pertanto mi trovo completamente d\'accordo con simo_the_wolf!
<BR>
<BR>P.S.
<BR>A tal proposito, approfitto dell\'occasione per invitarvi a leggere, come ho già fatto in un post precedente, i libri:
<BR>\"L\'ultimo teorema di Fermat\" di Simon Sing
<BR>e
<BR>\"Zio Pedros e la congettura di Goldbach\" di Apostolos Dioxiadis
<BR>[addsig]
<center>S’i’ fosse foco, arderei ’l mondo;
S’i’ fosse vento, lo tempestarei;
S’i’ fosse acqua, i’ l’annegherei;
[...]
S’i’ fosse Anteo, com’i’ sono e fui,
torrei le donne giovani e leggiadre:
le zoppe e vecchie lasserei altrui.
C.M.</center>

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-24 15:57, J4Ck202 wrote:
<BR>Io voto per il teorema che sancisce
<BR>
<BR> zeta(2) = (pi^2)/6
<BR>
<BR>Giusto per dire.. presi due numeri naturali a caso, qual è
<BR>la probabilità che siano coprimi? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Beh, qual è che sia, io non so dirlo...... di certo non puot\'esser zeta(2)! Personalmente, non ho mai sentito parlare di una probabilità più che unitaria... se 1 rappresenta la certezza statistica, 1+epsilon cos\'è che sarebbe, di preciso? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
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psion_metacreativo
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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

in effetti avevo pensato anch\'io che era sufficente considerare come dominio x>1 per togliere ogni problema. d\'altronde era anche abbastanza logico perchè se questa è un funzione che deve approssimare la distribuzione dei numeri primi a che cavolo mi serve una x reale <1...

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-31 00:02, psion_metacreativo wrote:
<BR>in effetti avevo pensato anch\'io che era sufficente considerare come dominio x>1 per togliere ogni problema. d\'altronde era anche <!-- BBCode Start --><B>abbastanza logico</B><!-- BBCode End --> perchè se questa è un funzione che deve approssimare la distribuzione dei numeri primi a che cavolo mi serve una x reale <1...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Se per te è logico ciò che per me è giust\'appena sensatamente ragionevole, beh allora siam d\'accordo su ogni fronte!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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PFR
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Messaggio da PFR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-30 11:08, euler_25 wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-24 15:57, J4Ck202 wrote:
<BR>Io voto per il teorema che sancisce
<BR>
<BR> zeta(2) = (pi^2)/6
<BR>
<BR>Giusto per dire.. presi due numeri naturali a caso, qual è
<BR>la probabilità che siano coprimi? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Beh, qual è che sia, io non so dirlo...... di certo non puot\'esser zeta(2)! Personalmente, non ho mai sentito parlare di una probabilità più che unitaria...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>In effetti non fa proprio zeta(2)... fa 1/zeta(2)=6/pi^2. E questo è minore di 1! Con un briciolo di pazienza ci si arriva.
<BR>Sono d\'accordo che il calcolo di zeta(2) è una vera meraviglia. Un colpo di bacchetta di Eulero!
La matematica è 50% calcoli, 50% ragionamento, 50% immaginazione.

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massiminozippy
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Messaggio da massiminozippy » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-03-25 14:46, PFR wrote:
<BR>In effetti non fa proprio zeta(2)... fa 1/zeta(2)=6/pi^2. E questo è minore di 1! Con un briciolo di pazienza ci si arriva.
<BR>Sono d\'accordo che il calcolo di zeta(2) è una vera meraviglia. Un colpo di bacchetta di Eulero!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Dove posso trovare la dimostrazione della probabilità?
<BR>Se zeta(2)=pi^2/6, quanto fa zeta(4),zeta(5),etc...

Deca
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Messaggio da Deca » 01 gen 1970, 01:33

che ne dite invece di Teorema di Marco Ferrandini?
<BR>
<BR>\"prendi una donna, trattala male...\"
<BR>
<BR>ora che ci penso, noi l\'avevamo cambiata in:
<BR> \"prendi una curva,
<BR>traslala male,
<BR>sbaglia pure la rotazione..
<BR>prendi un bel due
<BR>hai buco in pagellaa..
<BR>cazzo, mia madre mi stanga.
<BR>lei ti dice che è una cosa importante,
<BR>ma tu te ne sbatti e vai..\"
<BR>
<BR>il resto della canzone e troppo irrispettosa nei confronti di una materia che sicuramente sentireste violentata se continuo a scrivere... d\'altra parte avevo appena preso un 5 mi giravano gli amenicoli..
<BR>
<BR>(per la cronaca alla fine ho avuto la meglio io) <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
ci son nuvole in certe camere.. e meno ombrelli di quel che pensi...

Deca
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Messaggio da Deca » 01 gen 1970, 01:33

mi sono reso conto che ho appena violentato pure la lingua italiana. \"continuassi\" non \"continuo\".
<BR>scusatemi... ormai sono un caso disperato.
<BR>
<BR>anzi, scusassetemi, ormai sarebbi un caso disperato
<BR>
<BR>(vado a nanna che è meglio)
ci son nuvole in certe camere.. e meno ombrelli di quel che pensi...

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