IPERCUBO

In questo forum si parla della gara Nazionale di Cesenatico!

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Galois85
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Messaggio da Galois85 » 01 gen 1970, 01:33

riprendiamo la discussione dell\'albergo...
<BR>sull\'ipercubo
<BR>ora ho poko tempo...
<BR>
<BR>vi do le formule che ho trovato in forma asettica...poi se vi va ne discutiamo
<BR>
<BR>n = numero di dimensioni
<BR>
<BR>vertici = 2^n
<BR>numero di lati uscenti da ogni vertice = n
<BR>numero dei spigoli =n*2^(n-1)
<BR>numero di elementi di k dimensioni = n*2^(n-k)
<BR>[ ad esempio numero di faccie = n*n^(n-2)]
<BR>induttivamente mi sembrano giuste però nn ne sono certo...
<BR>attendo risposte
<BR>hola!
<BR>^_^
<BR>
<BR>
<BR>
Evariste Galois

bug84
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Messaggio da bug84 » 01 gen 1970, 01:33

io faccio la tesina sull\'ipercubo e ho trovato un pò di roba (disegni, formulette per costruirlo, qualche collegamento con la relatività...). le formule dovrebbero essere giuste. cerca qualcosa sul tesseratto (la forma \"aperta\" dell\'ipercubo)
<BR>ciao
quando il gioco si fa duro, i duri cominciano a giocare

(John "Bluto" Belushi)

Mathema
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Messaggio da Mathema » 01 gen 1970, 01:33

Purtroppo a Cesenatico non ho avuto modo di partecipare alla discussione, tuttavia trovo l\'argomento interessante. Sempre in forma ascetica, io ho trovato una sorta di generalizzazione a quanto dici. Prendiamo un \"cubo\" a n dimensioni (n=1 segmento, n=2 quadrato, n=3 cubo, n=4 ipercubo, ecc.). Ebbene, il numero di componenti a m dimensioni di tale figura (m=0 per i vertici, m=1 per gli spigoli, m=2 per le facce, ecc.) è dato dalla formula
<BR>F(m,n)= 2^(n-m)*c(n,m), dove con c(n,m) si intende il coefficiente binomiale di n oggetti di classe m.

Galois85
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Messaggio da Galois85 » 01 gen 1970, 01:33

mah...a me sembrava più carina e più facile la mia formula...
<BR>se poi kome mi suggerisce bug84 sono giuste---
<BR>eureka! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
Evariste Galois

Spider
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Messaggio da Spider » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>n = numero di dimensioni
<BR>
<BR>vertici = 2^n
<BR>numero di lati uscenti da ogni vertice = n
<BR>numero dei spigoli =n*2^(n-1)
<BR>numero di elementi di k dimensioni = n*2^(n-k)
<BR>[ ad esempio numero di faccie = n*n^(n-2)]
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Quest\'ultima non mi torna. Ad esempio un ipercubo ha 32 spigoli, da ogni spigolo partono 3 facce, oggni faccia tocca 4 spigoli. Quindi il numero di facce dovrebbe essere 32/4*3 = 24 e non 4*2^2=16 come risulta da quella formula.
<BR>
<BR>Ciao, Spider

DD
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Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

la \"sorta di generalizzazione\" è in effetti in conflitto col risultato da generalizzare... a spider come a me sembra giusta la sorta di generalizzazione. A questo punto: quanti k-cubi contiene in totale un n-cubo? (0-cubi=vertici, 1-cubi=spigoli, ..., n-cubo=n-cubo)
[img:2sazto6b]http://digilander.iol.it/daniel349/boy_math_md_wht.gif[/img:2sazto6b]

Mathema
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Messaggio da Mathema » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-05-14 23:28, DD wrote:
<BR>A questo punto: quanti k-cubi contiene in totale un n-cubo? (0-cubi=vertici, 1-cubi=spigoli, ..., n-cubo=n-cubo)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>?
<BR>La mia formula nn va bene?

Spider
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Messaggio da Spider » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-05-15 14:35, Mathema wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-05-14 23:28, DD wrote:
<BR>A questo punto: quanti k-cubi contiene in totale un n-cubo? (0-cubi=vertici, 1-cubi=spigoli, ..., n-cubo=n-cubo)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>?
<BR>La mia formula nn va bene?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Sembra girare... Come ci sei arrivato?
<BR>
<BR>Spider

DD
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Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-05-14 23:28, DD wrote:
<BR>in totale
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
[img:2sazto6b]http://digilander.iol.it/daniel349/boy_math_md_wht.gif[/img:2sazto6b]

Mathema
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Messaggio da Mathema » 01 gen 1970, 01:33

Come ho detto, le ho trovate in modo abbastanza ascetico, però due regole le ho trovate:
<BR>1. F(n,0)= 2^n (ogni volta che aggiungi una dimensione, i vertici raddoppiano, e visto che con 0 dimensioni vi è 1 vertice...);
<BR>2. F(n,m)= 2F(n-1,m) + F(n-1,m-1)

Mathema
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Messaggio da Mathema » 01 gen 1970, 01:33

Ci sono, non è il massimo ma è tutto ciò che sono riuscito a pensare:
<BR>Sappiamo anzitutto che: C(m,n)= C(m-1,n)+C(m-1,n-1)
<BR>Moltiplicando I e II membro per 2^(m-n) otteniamo:
<BR>2(m-n)*C(m,n)= 2^(m-n)*C(m-1,n)+ 2^(m-n)*C(m-1,n-1)= 2*[2^(m-1-n)*C(m-1,n)]+ 2^[(m-1)-(n-1)]*C(m-1,n-1)
<BR>Ponendo F(a,b)= 2^(a-b)*C(a,b) otteniamo infine che (1)
<BR>F(m,n)=2F(m-1,n)+F(m-1,n-1)
<BR>Inoltre, essendo C(m,0)=1 => F(m,0) = 2^(m-0)*C(m,0) = 2^m (2)
<BR>Essendo la (1) e la (2) le proprietà della funzione cercata, segue (o almeno dovrebbe...) che F(m,n)=2^(m-n)*C(m,n) è la funzione cercata.
<BR>... Mah, dovrebbe andare... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

fiang1
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Messaggio da fiang1 » 01 gen 1970, 01:33

secondo voi come è possibile che si riesce a sapere come è fatta 1 cosa che ha 4 dimensioni???
questa non è la mia firma

DD
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Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

I vertici sono 2^n, da ogni vertice partono n spigoli. In un m-cubo da ogni vertice partono m spigoli, perciò in corrispondenza di ciascun vertice ci sono C(n,m) m-cubi. Così però abbiamo contato ogni m-cubo 2^m volte (una per ogni suo vertice), perciò dividiamo, da cui la formula.
<BR>
<BR>\"In totale\" significa: okay, i vertici sono 2^n, gli spigoli sono n*2^(n-1) ecc. Ora, tra vertici, spigoli, facce, gatte, sacche e mogli, in quanti andarono a Camogli?
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bug84
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Messaggio da bug84 » 01 gen 1970, 01:33

se volete vedere com\'è fatto un ipercubo, potete guardare il \"corpus hypercubus\", un quadro di Dalìnel quale Cristo è crocifisso su un tesseratto, oppure le sculture di Pierelli (ha costruito molti solidi di 4 dimensioni...)
<BR>Per rispondere a quell\'ignorante di fiang1, alcune teorie (supportate da un certo Einstein: lo conosci?) affermano che l\'universo è una figura a più di 3 dimensioni: questo spiega perchè, viaggiando avanti nel tempo, ci si ritroverebbe nel passato...
<BR>Già che ci siete, leggete anche \"la casa nuova\" di Heinlein: parla proprio di un ipercubo
<BR>
<BR>ciao!
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DD
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Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

ritento: quanto vale sum[m=0,n] c(n,m)*2^(n-m)?
<BR>Avete un\'interpretazione geometrica del risultato?
[img:2sazto6b]http://digilander.iol.it/daniel349/boy_math_md_wht.gif[/img:2sazto6b]

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