[N] Crogiuolo di Teoria dei Numeri.

Cosa serve nel sito? Cosa manca? Contenuti? Grafica?

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-12 19:30, Boll wrote:
<BR>x<sup>25</sup> = x mod n
<BR>x(x<sup>24</sup>-1)=0
<BR>x(x<sup>12</sup>+1)(x<sup>6</sup>+1)(x+1)(x-1)(x<sup>2</sup>-x+1)(x<sup>2</sup>+x+1)=0 mod n
<BR>Osserviamo innanzitutto che le potenze perfette dei primi non verificano, perch<!-- BBCode Start --><B>è</B><!-- BBCode End --> basta po<!-- BBCode Start --><B>re</B><!-- BBCode End --> p=x e <!-- BBCode Start --><I>avremo tante congruenze a 1 o -1, nessun multiplo.</I><!-- BBCode End -->
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>A parte l\'ortografia, tutto bene, fin qui... eccetto quella frase in corsivo, di cui sinceramente mi sfugge il senso!!! Più realisticamente, se dovesse esistere un qualche primo intero p > 1 tale che, per ogni x € Z: x<sup>25</sup> = x mod p<sup>2</sup>, allora, posto x = p, se ne avrebbe a dedurre: p = 0 mod p<sup>2</sup>, in evidente assurdo!!!
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-12 19:30, Boll continued:
<BR>Ora dimostriamo che per 2,3,5,7,13 la tesi è verificata: [...]
<BR>- per 13 -> come prima, facendo i calcoli si vede che per goni congruenza si ha un multiplo. [...]
<BR>Analizzando i casi delle congruenze a 3 modulo 241 e 17, si trova che tali numeri non verificano.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ah, forse è superfluo ricordarti che: i) nel corso della gare, l\'uso delle calcolatrici è severamente vietato; ii) quel tipo di espressioni rappresentano un artificio piuttosto becero usato, qua e là, per tagliare corto nel caso in cui il discorso inizi a diventare un po\' troppo \"impastato\" da potersi gestire agevolmente. Se ho torto, beh... dimostramelo!!!
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Quindi non esiste un multiplo di questo famigerato numero p=/=2,3,5,7,<!-- BBCode Start --><B>17,241</B><!-- BBCode End -->. Perciò tutti i numeri che verificano sono i prodotto dati dalle possibili permutazioni di questi cinque numeri che fungono. L\'insieme delle parti di 5 è 32, togliendo il vuoto abbiamo 31 numeri che verificano.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>A parte la svista (al posto di 17 e 241 dovrebbe comparire il 13, magari...), anche la risposta conclusiva al quesito è sbagliata!!! Pensaci un po\'...
<BR>
<BR>GIUDIZIO FINALE: soluzione piuttosto insoddisfacente!!!
<BR>
<BR>P.S.: il fatto ch\'io abbia etichettato il problema come \"di facile soluzione\" non significa che si debba affrontarlo con leggerezza, né tantomeno che non vi sia la possibilità di utilizzare qualche teoremuccio di Aritmetica Elementare per rispondergli compiutamente!!! Alla luce di questi fatti, beh... ti consiglio ti rimetterti subito a lavoro, sfaticato, se vuoi rimediare alle tue colpe!!! Senti un po\'... quand\'è l\'ultima volta che ti ho raccomandato di studiare giusto <!-- BBCode Start --><I>qualcosina</I><!-- BBCode End --> sul conto della totiente di Eulero, del concetto di ordine moltiplicativo e delle radici primitive, uh?!? Sì, risposta esatta!!! Grrr...
<BR>
<BR>
<BR>\"Da buon pappone, vado a papparmi la pappa!!!\" - HiTLeuLeR<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 13-11-2004 12:53 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-12 20:26, info wrote:
<BR>Suggerimenti?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Da parte mia dubito che ne avrai... certo, se magari provassi un po\' a ridurre il numero dei parametri coinvolti nel problema, beh... lascia che ti dica che sarebbe già un grossissimo passo in avanti!!!
<BR>
<BR>
<BR>\"Insegnare a vivere senza la certezza e tuttavia senza essere paralizzati dall\'esitazione è forse la funzione principale cui la filosofia può ancora assolvere, nel nostro tempo, per chi la studia.\" - Bertrand Russell

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Okok
<BR>Ero preparato a doverla riscrivere.
<BR>Per il p^k , k>1 l\'assurdo sta nel fatto che, ponendo x=p avremo un solo p, quindi molteplicità 1 e non k, poichè tutti gli altri resti danno 1,-1.
<BR>
<BR>Il discorso non è impastato per nulla nel fatto del 13,17 e 241, solo dovrei riportare una serie di calcoli paurosa e \"elementare\" se sbaglio, dimmi dove, se vuoi riporto proprio tutti i passaggi, ma non ora, devo andare via.
<BR>
<BR>Perchè la risposta è errata???? Se consideriamo l\'1 abbiamo 32 numeri, sennò 31, tutte le permutazioni possibili, cioè l\'insieme delle parti, non capisco l\'errore.
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 13-11-2004 13:13 ]
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-13 13:12, Boll wrote:
<BR>Per il p^k , k>1 l\'assurdo sta nel fatto che, ponendo x=p avremo un solo p, quindi molteplicità 1 e non k, poichè <!-- BBCode Start --><B>tutti gli altri resti danno 1,-1.</B><!-- BBCode End -->
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Puoi chiarirmi meglio il senso della frase in grassetto? Magari fammi qualche esempio, proprio non capisco cosa tu intenda dire! Se k è un intero positivo < 26, posto x = p, si trova che: x<sup>25</sup> = x mod p<sup>k</sup> solo se: p = 0 mod p<sup>k</sup>. Dov\'è che salterebbero fuori i resti 1 e -1, scusami???
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-13 13:12, Boll continued:
<BR>Perch<!-- BBCode Start --><B>è</B><!-- BBCode End --> la risposta è errata???? Se consideriamo l\'1 abbiamo 32 numeri, sennò 31, tutte le permutazioni possibili, cioè l\'insieme delle parti, non capisco l\'errore.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Beh, hai ragione! Ho appena riguardato la traccia del problema così come l\'ho proposto: in effetti, fa riferimento ai soli interi > 1, pardon!!! Ricordavo diversamente... Bene, in tal caso la risposta è esatta, ma ogni altra considerazione resta comunque valida!
<BR>
<BR>P.S.: soluzione \"impastata\" = soluzione piena zeppa di calcoli!!!
<BR>
<BR>
<BR>\"I was five and he was six
<BR>We rode on horses made of sticks
<BR>He wore black and I wore white
<BR>He would always win the fight.\"
<BR>
<BR>- Nancy Sinatra, <!-- BBCode Start --><I>Bang bang (My baby shot me down)</I><!-- BBCode End -->
<BR>dalla colonna sonora di <!-- BBCode Start --><I>Kill Bill</I><!-- BBCode End --> - volume I.<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 13-11-2004 13:38 ]

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>x(x<sup>12</sup>+1)(x<sup>6</sup>+1)(x+1)(x-1)(x<sup>2</sup>-x+1)(x<sup>2</sup>+x+1)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>se x=p avremo
<BR>p(p<sup>12</sup>+1)(p<sup>6</sup>+1)(p+1)(p-1)(p<sup>2</sup>-p+1)(p<sup>2</sup>+p+1)
<BR>quindi p==0 mod p ma non mod p^k, k>1
<BR>p^12+1==1 mod p
<BR>p^6+1==1 mod p
<BR>p+1==1 mod p
<BR>p-1==-1 mod p
<BR>p^2-p+1==1 mod p
<BR>p^2+p+1==1 mod p
<BR>quindi abbiamo un solo multiplo di p e NESSUN multiplo di p^k.
<BR>
<BR>So benissimo che la soluzione è parecchio inelegante e calcolosa, tuttavia credo sia giusta ed è pittosto breve.
<BR>Euler, per calcolare le congruenze non mi serve la calcolatrice...
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-12 19:30, Boll wrote:
<BR>[...] -per 13-> facendo i calcoli [...] per ogni congruenza si ha un multiplo
<BR>[...] Analizzando i casi delle congruenze a 3 modulo 241 e 17 si trova che tali numeri non verificano. [...]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ok, adesso finalmente ho capito cosa intendevi con la storia dei resti pari \"ad 1 e -1\". Soltanto che, prima di poter dire che i tuoi argomenti risolvono completamente il problema, beh... dovresti quantomeno armarti di pazienza, e di una buona dose di coraggio, e inserire da qualche parte i dettagli ancora mancanti (ecco, appunto, il senso del mio <!-- BBCode Start --><I>quote</I><!-- BBCode End -->)!!! Sai, trattandosi di una soluzione basata (quasi) completamente sui conteggi, non è ammissibile che tu ti risparmi giusto dal discutere i casi più \"complessi\"... o forse dovrei dire più \"noiosi\"? Baaah, fai un po\' <!-- BBCode Start --><I>te</I><!-- BBCode End -->...
<BR>
<BR>P.S.: siccome boll si è incaponito, inviterei gli altri ragazzi a risolvere lo stesso problema valendosi, magari, di un approccio differente, che risparmi loro - com\'è auspicabile - la fatica di dover <!-- BBCode Start --><I>sgobbare</I><!-- BBCode End --> troppo sui numeri.
<BR>
<BR>P.P.S.: boll, sia ben inteso... quando l\'avrai completata, la tua soluzione non avrà nulla di meno rispetto a quella di chiunque altro, almeno per quel che mi riguarda! Semplicemente, ritengo inaccettabile che tu possa tagliare corto su un conto quando la tua proposta di soluzione è ridotta giust\'appunto ad una mera questione di calcoli, per quanto iterati un trilione di volte!!! Spero con questo d\'essermi spiegato compiutamente... Ci-a-o!!!
<BR>
<BR>
<BR>\"Zoom, zoom zoom zoom, zoom, zoom...\" - Mina<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 13-11-2004 20:40 ]

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Dimostiramo che 13 verifica:
<BR>x==1---> x-1 verifica
<BR>x==-1 --> x+1 verifica
<BR>x==0---> x verifica
<BR>x==+-2--> x^2==4---> x^4==3---> x^6==-1 quindi x^6+1 verifica
<BR>x==+3--> x^2+x+1 verifica
<BR>x==-3--> x^2-x+1 verifica
<BR>x==4--> x^2-x+1 verifica
<BR>x==-4--> x^2+x+1 verifica
<BR>x==5--> x^2+x+1 verifica
<BR>x==-5--> x^2-x+1 verifica
<BR>x==+-6--> x^2==-3--> x^4==9--> x^6==-1--> x^6+1 verifica
<BR>
<BR>Per il 17 e 241, prendiamo una x==3 avremo
<BR>x==3
<BR>x-1==2
<BR>x+1==4
<BR>x^6+1== 15(mod 17), -6 (mod 241)
<BR>x^12+1== 4 (mod 17), 36 (mod 241)
<BR>x^3-x+1==7
<BR>x^3+x+1==13
<BR>
<BR>Ora, Euler, spero tu possa darmi la tua benedizione...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 14-11-2004 11:31 ]
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Ok, boll, hai la mia benedizione! \"Possa tu riposare in pace nei secoli dei secoli, AMEN.\" Ashuahuahus... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>
<BR>\"Poromporompompooo...\" - fra amici<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 14-11-2004 09:58 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

...anche se mancherebbero ancora all\'appello i residui ± 4, ±5, ±6 mod 13, volendo proprio fare i rompiballe, gh...
<BR>
<BR>
<BR>\"Il marchese De Sade <!-- BBCode Start --><I>a me mi</I><!-- BBCode End --> fa una pi**a.\" - HiTLeuLeR in versione sado-maso<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 14-11-2004 10:01 ]

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Ora, se vuoi potrei scriverti, per puro diletto le congruenze tutti i nuemeri da 0 a 100 dei prmi 100 primi, sarebbe divertente <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Poiché Boll ha già risolto il problema n° 2, posto anche la mia soluzione, sperando possa servire soprattutto al nostro piccolo amico per convincersi a studiare un po\' più seriamente i rudimenti della Teoria dei Numeri e semplificarsi così la vita (ma dove?!?), anziché ostinarsi a conteggiare coi ceci e coi fagiuoli!
<BR>
<BR>--------------
<BR>
<BR>Innanzitutto, se n risolve il problema proposto, essendo n un intero > 1, allora n è pure libero da quadrati, ossia non è divisibile per il quadrato di alcun numero primo naturale, come già puntualmente dimostrato dallo stesso Boll.
<BR>
<BR>Ciò premesso, forti del 1° teorema di Euclide dell\'Aritmetica, possiamo affermare che tutti e soli i primi interi p > 1 che sono soluzione del quesito verificano la condizione per cui, comunque scelto un x € Z, con gcd(p, x) = 1: x<sup>24</sup> = 1 mod p, o equivalentemente: ord<sub>x</sub>(p) | 24. Ebbene, detta g una qualunque radice primitiva mod p, ne consegue che l\'equazione modulare: x<sup>25</sup> = x mod p, risulta identicamente soddisfatta sse: ord<sub>g</sub>(p) | 24, ovvero: (p - 1) | 24, dacché, coerentemente con le ipotesi assunte: ord<sub>g</sub>(p) = phi(p) = p-1, ove phi(·) denota la totiente di Eulero e ord<sub>g</sub>(p) l\'ordine moltiplicativo di p alla base g. E d\'altronde:
<BR>
<BR>(p - 1) | 24 <==> p-1 = 2 <!-- BBCode Start --><I>vel</I><!-- BBCode End --> p-1 = 3 <!-- BBCode Start --><I>vel</I><!-- BBCode End --> p-1 = 4 <!-- BBCode Start --><I>vel</I><!-- BBCode End --> p-1 = 6 <!-- BBCode Start --><I>vel</I><!-- BBCode End --> p-1 = 13
<BR>
<BR>per concluderne che i primi interi p > 1 per i quali la congruenza: x<sup>25</sup> = x mod p, è soddisfatta per ogni x € Z appartengono tutti e soli all\'insieme P := {2, 3, 5, 7, 13}. Se ne conclude che ogni n intero > 1 che sia soluzione del problema proposto è vuoi un elemento di P vuoi il prodotto di due o più suoi elementi <!-- BBCode Start --><I>distinti</I><!-- BBCode End -->. Da ciò si deduce finalmente che il numero k delle soluzoni al quesito n° 2 è espresso dalla relazione: k = sum<sub>i=1...5</sub> Bin(5, i) = 2<sup>5</sup> - 1 = 31, ove Bin(m,n) indica l\'ordinario coefficiente binomiale m su n, per ogni m, n € N, con n <= m.
<BR>
<BR>
<BR>\"La critica spesso non è una scienza; è un mestiere, dove occorrono più salute che spirito, più lavoro che capacità, più abitudine che genio.\" - Jean de La Bruyère<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 14-11-2004 13:04 ]

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Ok Euler..vorrei chiederti per conferma:
<BR>
<BR>*cosa intendi per ordine moltiplicativo?;
<BR>
<BR>*Eulero ci dice che
<BR>a<sup>phi(n)</sup>=1 mod n se (a,n)=1.
<BR>Inoltre il più piccolo k tale che a<sup>k</sup>=1 mod n rispetta la condizione k/phi(n).
<BR>E\' vero che nel caso di p primo k=phi(p)=p-1 ? Nn ho provato a verificarlo. Aspetto un sì od un no, anche perchè il problema 4 mi stà facendo arrabbiare.....
<BR>La condizione sui quadrati da mè scritta prima è necessaria ma nn sufficiente. Nonostante questo sono pochissime le quaterne che la soddisfano (trovate con TP4)... Solo due serie, con i quadrati minori di 500, rispettano il tutto: (1,8,15)---(4,30,56)..
<BR>Io nn sò: il modo più simmetrico con cui partire è definire x minore di y minore di z e y=(z+x)/2 [z ed x medesima parità]. Le relazioni diventano:
<BR>
<BR>x^2+xz+2=2a^2
<BR>z^2+xz+2=2c^2
<BR>xz+1=b^2
<BR>
<BR>ma più della relazione tra a,b e c nn ho tirato fuori. Inoltre qualsiasi formula ricorsiva fallirebbe data la sporadicità delle triplette...
<BR>
<BR>Avevo anche provato a porre x=1. Mi veniva che ogni tripletta era legata alla soluzione (sufficiente questa volta credo) di questa equazione.
<BR>c^2=8*t^4-2*t^2+1
<BR>ma a parte (11,2) nn credo disponga di altre soluzioni...potrei tenere x come parametro e trovare formule simili ma i calcoli diventano un suicidio...
<BR>
<BR>Mi manca l\'idea...per il 3 mi è venuta subito, quà latita purtroppo...
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 14-11-2004 16:09 ]
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 14-11-2004 16:11 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 14-11-2004 16:12 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-14 16:09, info wrote:
<BR>*cosa intendi per ordine moltiplicativo?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>In base al teorema di Euler-Fermat, per ogni n intero > 1 ed ogni <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End --> € Z tale che: gcd(<!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->, n) = 1, esiste x<sub>0</sub> € N<sub>0</sub> per cui: <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->^x<sub>0</sub> = 1 mod n. Basti porre x := phi(n), ove phi(·) è la totiente di Eulero. E allora, l\'insieme X := {x € N<sub>0</sub>: <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End --><sup>x</sup> = 1 mod n} è non vuoto, poiché quantomeno: x<sub>0</sub> € X. Inoltre, per costruzione, X è un sottoinsieme di N. <!-- BBCode Start --><I>Ergo</I><!-- BBCode End -->, per la proprietà di buon ordine dei naturali, X ammette un elemento minimo assoluto m (peraltro, unico). Ebbene, m vien detto l\'ordine moltiplicativo di n alla base <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->, o anche il gaussiano di n alla base <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->, e si denota classicamente con le scritture ord<sub><!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End --></sub>(n) oppure gss(n, <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->). Tanto per la cronaca, l\'espressione \"ordine moltiplicativo di n alla base <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End -->\" è mutuata dalla Teoria dei Gruppi, poiché si mostra che l\'insieme G := {<!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End --><sup>x</sup> mod n t.c. x € N} dei residui minimi positivi mod n delle successive potenze di <!-- BBCode Start --><I>a</I><!-- BBCode End --> ad esponente naturale forma un gruppo rispetto alla moltiplicazione ordinaria fra interi, il cui ordine (= |G|) eguaglia appunto il più piccolo esponente intero positivo x t.c.: a<sup>x</sup> = 1 mod n.
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-14 16:09, info continued:
<BR>E\' vero che nel caso di p primo k=phi(p)=p-1 ? Nn ho provato a verificarlo.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Sì! Per definizione, infatti, qual che sia n € N<sub>0</sub>: phi(n) := |{k € N<sub>0</sub>: k <= n & gcd(n, k) = 1}. Ora, se p è un numero primo naturale qualsiasi: gcd(p, k) = 1, per ogni k = 1, 2, ..., p-1. Dunque, banalmente: phi(p) = p-1.
<BR>
<BR>In quanto al quesito n° 4, dacché x, y, z stanno fra loro in progressione aritmetica, esiste un intero d tale che: z - y = y - x = d, donde: y = x + d e z = x + 2d. Ciò detto, scordatevi pure ch\'io possa dare altri suggerimenti sul conto di questo problema!!!
<BR>
<BR>
<BR>\"Se non sta su google, non è mica detto che non esista!\" - array[] <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 14-11-2004 17:54 ]

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<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-14 16:09, info wrote:
<BR>E\' vero che nel caso di p primo k=phi(p)=p-1 ? Nn ho provato a verificarlo.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Aspe\', mi rendo conto di aver frainteso la questione!!! Dunque... il fatto che l\'ordine moltiplicativo di p alla base g (si faccia riferimento alle notazioni introdotte nel corso della soluzione ch\'io stesso ho proposto al quesito n° 3) sia pari esattamente a phi(p) è conseguenza dell\'ipotesi secondo cui g è una <!-- BBCode Start --><B>radice primitiva</B><!-- BBCode End --> mod p, tutto lì! Ti chiedo scusa, info, avevo un attimo mal interpretato la tua domanda... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR>
<BR>\"Siamo arrivati troppo tardi per dire qualcosa che non sia già stato detto.\"
<BR>Jean de La Bruyère<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 14-11-2004 18:03 ]

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Mi sfugge allora qual\'è il concetto di radice primitiva. Quella di ordine moltiplicativo più o meno lo avevo intuito...
<BR>Per quanto pensavo una radice primitiva mod p è un numero che appartiene all\'insieme [1,2,..,p-1]...
<BR>In tal caso 4<sup>phi(7)</sup>=1 mod 7 con phi(7)=6, ma anche 4<sup>3</sup>=1 mod 7 e quindi phi(7) nn è il famigerato ordine moltiplicativo di 7 alla base 4...Urgono definizioni...
<BR>
<BR>E cmq per il 4, credi che nn sia stata la prima sostituzione che ho fatto...beh...perlomeno almeno so che quando ci riproverò saprò da dove partire!
<BR>
<BR>
<BR>Bellissimi gli esponenti...E\' la prima volta che li uso!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 14-11-2004 19:25 ]

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