[N] Crogiuolo di Teoria dei Numeri.

Cosa serve nel sito? Cosa manca? Contenuti? Grafica?

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Parafrasando un personaggio di hollywoodiana memoria, voglio pensare che, ad ogni nuovo problema proposto, la probabilità di vederne qualcuno risolto tenda a crescere drammaticamente, e allora... beh, allora buon divertimento!!!
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B><font color=green>Problema 1:</font></B><!-- BBCode End --> essendo a, b, c, d € Z, mostrare che il prodotto (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) è divisibile per 12.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B><font color=green>Problema 2:</font></B><!-- BBCode End --> determinare il numero degli interi n > 1 per i quali la congruenza: x<sup>25</sup> = x mod n, è soddisfatta per ogni x € Z.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B><font color=blue>Problema 3:</font></B><!-- BBCode End --> un intero n > 1 ed un primo naturale p sono tali che: n | p-1 e p | n<sup>3</sup> - 1. Dimostrare che, in tal caso, 4p - 3 non può essere un numero primo.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B><font color=blue>Problema 4:</font></B><!-- BBCode End --> determinare infinite terne (x,y,z) di interi positivi tali che x, y e z siano in progressione aritmetica ed xy + 1, yz + 1 ed zx + 1 siano dei quadrati perfetti.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B><font color=red>Problema 5:</font></B><!-- BBCode End --> sia p un primo naturale > 2. Dette g<sub>1</sub>, g<sub>2</sub>, ..., g<sub>phi(p-1)</sub> le radici primitive distinte di p nell\'insieme {1, 2, ..., p-1}, provare che:
<BR>
<BR><center>sum<sub>k=1...phi(p-1)</sub> g<sub>k</sub> = µ(p-1) mod p </center>
<BR>ove, al solito, phi(·) denota la totiente di Eulero e µ(·) la <!-- BBCode Start --><I>mu</I><!-- BBCode End --> di Möbius, la cui definizione è stata data già più volte in questo stesso forum (i.e., <a href=\"http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... =5\"><font color=green>qui</font></a>).
<BR>
<BR>Nota: sulla base di una classificazione del tutto soggettiva, ho indicato in <font color=green>verde</font> gli esercizi di livello <!-- BBCode Start --><I>principiante</I><!-- BBCode End -->, in <font color=blue>blu</font> i quesiti di <!-- BBCode Start --><I>media difficoltà</I><!-- BBCode End --> e in <font color=red>rosso</font> gli <!-- BBCode Start --><I>harder</I><!-- BBCode End -->, ossia quei problemi la cui soluzione richiede, oltre che una buona dose di ingegno, <!-- BBCode Start --><I>pure</I><!-- BBCode End --> un certo tipo di abilità tecniche. Ribadisco, il metro di valutazione è del tutto personale, per cui...
<BR>
<BR>P.S.: purtroppo non ho molto tempo da dedicare alla Matematica olimpica, in questo periodo. <!-- BBCode Start --><I>Ergo</I><!-- BBCode End -->, se non dovessi rispondere tempestivamente, come di norma cerco di fare, alle eventuali soluzioni ai quesiti ch\'io qui come altrove ho proposto, ecco... sappiate che non dipende una volta di più dalla mia scarsa <!-- BBCode Start --><I>professionalità</I><!-- BBCode End -->.
<BR>
<BR>EDIT: corretto un segno! Il mio grazie a info per la segnalazione.
<BR>
<BR>
<BR>\"Il difficile non è essere intelligenti, ma sembrarlo.\" - Luc de Clapiers Vauvenargues<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 11-11-2004 21:00 ]

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Messaggio da ReKaio » 01 gen 1970, 01:33

su, riesumo il thread, risolvo il problema 1, adatto a me
<BR>
<BR>P=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)
<BR>
<BR>a,b,c,d concordi, tutti i fattori pari
<BR>3 tra a,b,c,d con stessa parita\', le 3 differenze sono pari
<BR>tra a,b,c,d 2 pari e 2 dispari, le due differenze sono pari
<BR>ci sono sempre due fattori che garantiscono la divisibilita\' per 4
<BR>
<BR>3 classi di congruenza mod 3, 4 interi, almeno 2 congrui tra loro, almeno una differenza divisibile per 3.
<BR>4|P, 3|P --> 12|P
<BR>
<BR>miticissimo
_k_

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

ReKaio, felice di sentirti...Purtroppo ho cambiato pc e nn ho mai voglia di scaricare mirc... Tu eri di quinta lo scorso anno, vero? Cosa fai adesso?
<BR>
<BR>Problema 3: un intero n > 1 ed un primo naturale p sono tali che: n | p-1 e p | n3 - 1. Dimostrare che, in tal caso, 4p + 3 non può essere un numero primo.
<BR>
<BR>Ci sono dei problemi qua….
<BR>Se n=2 e p=7
<BR>2/(7-1) e 7/(2^3-1)…inoltre 4*7+3=31 primo
<BR>Posto anche il ragionamento fatto per arrivare al contro-esempio.
<BR>Se p/(n-1)(1+n+n^2) allora p divide uno dei due fattori.
<BR>[1] p/n-1
<BR>quindi p<=n-1 ma anche n<=p-1…il sistema nn ha soluzioni.
<BR>[2] p/(1+n+n^2)
<BR>Ora si osserva che mcd(n,p)=1. Infatti se a/n ed a/p, è anche a/p-1 per la prima condizione e quindi a/1.
<BR>Inoltre si trova,usando le proprietà del simbolo /, che
<BR>p/n^2+n+1-p
<BR>n/n^2+n+1-p
<BR>notare che n^2+n+1-p è sempre >=0 per la nostra ipotesi
<BR>e quindi per quanto detto sul mcd (pn)/n^2+n+1-p ed in particolare
<BR>pn<=n^2+n+1-p
<BR>pone la condizione p<(n+1)..ma è anche n<=(p-1) ed il sistema nn ha soluzioni. L’unico punto che nn viene così considerato è n^2+n+1-p=0. Ora si sa che dovrebbe essere p=n^2+n+1. Usando questo vorremmo dimostrare la tesi. Ci accorgiamo però per che per n=2 questa nn vale, capendo che, anche se i nostri ragionamenti finora fatti fossero errati, sono cmq inutili! (forse…)
<BR>

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Messaggio da Melkon » 01 gen 1970, 01:33

Problema 4: determinare infinite terne (x,y,z) di interi positivi tali che x, y e z siano in progressione aritmetica ed xy + 1, yz + 1 ed zx + 1 siano dei quadrati perfetti.
<BR>
<BR>mi sfugge il significato di progressione aritmetica, scusate l\'ignoranza. Se come penso significa solo che x<y<z in modo che siano diversi e non siano permesse permutazioni, per risolvere il problema basta porre x = 0, e ci sono infiniti valori y, z per cui yz+1 è un quadrato perfetto (tipo 2 e 4)
<BR>
<BR>sicuramente c\'è qualcosa di sbagliato, non può essere così semplice, qual\'è l\'errore? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-11 14:19, info wrote:
<BR>[...] Ci accorgiamo però che, per n=2, la tesi non vale, capendo che, anche se i nostri ragionamenti finora fatti fossero errati, sono cmq inutili!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ehm... che situazione incresciosa! Ebbene, nonostante la maniacale attenzione verso i particolari che, nel bene e nel male, mi ha reso <!-- BBCode Start --><I>famoso</I><!-- BBCode End --> (asdasuahuahu...), anche questa volta mi trovo costretto a riconoscere di aver commesso una svista di troppo. E dire che ho riveduto e corretto il primo post di questo <!-- BBCode Start --><I>thread</I><!-- BBCode End --> almeno una mezza dozzina di volte, baaah...
<BR>
<BR>
<BR>\"Errare profanum est.\" - HiTLeuLeR <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 11-11-2004 21:01 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-11 15:27, Melkon wrote:
<BR>[...] mi sfugge il significato di progressione aritmetica [...].
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Si dice che n numeri reali a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub>, essendo n un intero > 1, stanno in progressione aritmetica fra loro sse a<sub>k+1</sub> - a<sub>k</sub> = cost., per ogni k = 1, 2, ..., n-1.
<BR>
<BR>EDIT: tanto per la cronaca, la definizione si estende, tale e quale, al caso di una sequenza infinito numerabile, anziché finita, di reali.
<BR>
<BR>
<BR>\"Basta poco, che ce vo\'?\" - la buona tv<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 11-11-2004 21:17 ]

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Sempre per il 3...
<BR>Se quanto scritto sopra è corretto (nn ricontrollo...ma nn l\'ho fatto neanche prima...merda!). 4p-3 assume la forma 4n^2+4n+1, ovverosia (2n+1)^2 ed un quadrato nn è mai primo a meno che 2n+1=1, ovverosia n=0 ma di questi casi ce ne possiamo pure sbattere...l\'importante è il resto del percorso da controllare...

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Impeccabile, info, davvero impeccabile!!!
<BR>
<BR>
<BR>\"Un uomo è tanto più rispettabile quante più sono le cose di cui prova vergogna.\" - George Bernard Shaw

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Ehmmmm... mi rendo conto soltanto adesso di aver inserito questo <!-- BBCode Start --><I>thread</I><!-- BBCode End --> nel forum sbagliato!!! Ma porca miseria ladra, uff... Nooo, devo correre al più presto a farmi dare una controllatina generale, così non si può proprio andare avanti!!! Ragazzi, non so che dire... scusatemi, eh, che posso farci?
<BR>
<BR>
<BR>\"NO COMMENT!!!\" - HiTLeuLeR

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Messaggio da Melkon » 01 gen 1970, 01:33

problema 4
<BR>
<BR>il problema dice determinare infinte terne, non tutte le terne, quindi mi basta dire che ci sono infinite terne per cui x=o, y=k, z=2k, infatti per questi valori viene rispettata la famigerata progressione aritmetica. Quindi bisogna vedere se 2k^2+1 è un quadrato perfetto per infiniti valori interi positivi di k. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> mumble mumble... Altrimenti devo abbandonare la mia idea di x=0, che in realtà mi piaceva parecchio... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> non ne ho idea, per oggi getto la spugna... buona notte...
<BR>EDIT: maledetti errori di grammatica...
<BR>
<BR>\"Yawn che sonno...\" Melkon dopo essere stato sconfitto da una progressione aritmetica<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Melkon il 11-11-2004 22:53 ]
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-11 12:29, HiTLeuLeR wrote:
<BR><!-- BBCode Start --><B><font color=blue>Problema 4:</font></B><!-- BBCode End --> determinare infinite terne (x,y,z) di interi <!-- BBCode Start --><B>positivi</B><!-- BBCode End --> tali che x, y e z siano in progressione aritmetica ed xy + 1, yz + 1 ed zx + 1 siano dei quadrati perfetti.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ehm... Melkon, hai presente la domanda che ponevi con il tuo ultimo intervento a (s)proposito del quesito n° 4? Beh, vedi di risponderti un po\' da solo, su...
<BR>
<BR>
<BR>\"Si corrompe nel modo più sicuro un giovane, se gli si insegna a stimare chi la pensa come lui e disprezzare chi la pensa altrimenti.\" - Friedrich W. Nietzsche

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-11 13:13, ReKaio wrote:
<BR>
<BR>P=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)
<BR>
<BR>a,b,c,d concordi, tutti i fattori pari
<BR>3 tra a,b,c,d con stessa parita\', le 3 differenze sono pari
<BR>tra a,b,c,d 2 pari e 2 dispari, le due differenze sono pari
<BR>ci sono sempre due fattori che garantiscono la divisibilita\' per 4
<BR>
<BR>3 classi di congruenza mod 3, 4 interi, almeno 2 congrui tra loro, almeno una differenza divisibile per 3.
<BR>4|P, 3|P --> 12|P
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Oh, divinissimo Kappa!!! Ciao... ^^\'
<BR>
<BR>Ho visto soltanto adesso la tua soluzione al problema n° 1. Beh, naturalmente è perfetta!!! Uff... ma dovevi proprio metterti a giuocherellare coi ninnoli che avevo inteso riservare per i <!-- BBCode Start --><I>pargoli</I><!-- BBCode End -->, eeeh? Arrrgh...
<BR>
<BR>P.S.: sei proprio una canaglia, sai?!? Ed io ci sono cascato in pieno, gh... Vabbe\', servirti è stato un piacere! Mo\' ciao, però, <!-- BBCode Start --><I>miticissimo</I><!-- BBCode End -->!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>
<BR>\"La maestria è raggiunta quando, nell’esecuzione, né si sbaglia, né si prova esitazione.\" - Friedrich W. Nietzsche<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 12-11-2004 16:00 ]

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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Uff, kayo, una volta tanto che so risolvere un problema di Hitl, me lo rubi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">. Vabbè, provo il 2 sperando che la mole di insulti sia minima.
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-11 12:29, HiTLeuLeR wrote:
<BR><!-- BBCode Start --><B><font color=green>Problema 2:</font></B><!-- BBCode End --> determinare il numero degli interi n > 1 per i quali la congruenza: x<sup>25</sup> = x mod n, è soddisfatta per ogni x € Z.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>x<sup>25</sup> = x mod n
<BR>x(x<sup>24</sup>-1)=0
<BR>x(x<sup>12</sup>+1)(x<sup>6</sup>+1)(x+1)(x-1)(x<sup>2</sup>-x+1)(x<sup>2</sup>+x+1)=0 mod n
<BR>Osserviamo innanzitutto che le potenze perfette dei primi non verificano, perchè basta pore p=x e avremo tante congruenze a 1 o -1, nessun multiplo.
<BR>Ora dimostriamo che per 2,3,5,7,13 la tesi è verificata
<BR>-per 2-> si hanno x(x+1)
<BR>-per 3-> si hanno x(x-1)(x+1)
<BR>-per 5-> si hanno x(x-1)(x+1) e x<sup>6</sup>+1, che per x==2,3 è multiplo di 5
<BR>-per 7-> si hanno x(x+1)(x-1), per le congruenze -3,-2,2,3 i falsi quadrati verificano
<BR>-per 13-> come prima, facendo i calcoli si vede che per goni congruenza si ha un multiplo
<BR>Ora dimostriamo che non verifica per nessun altro primo
<BR>Prendiamo un qualunque x in N==2 mod p, avremo che:
<BR>x==2
<BR>x<sup>12</sup>+1==4097=17*241
<BR>x<sup>6</sup>+1==65=5*13
<BR>x+1==3
<BR>x-1==1
<BR>x<sup>2</sup>-x+1==3
<BR>x<sup>2</sup>+x+1==7
<BR>
<BR>Analizzando i casi delle congruenze a 3 modulo 241 e 17 si trova che tali numeri non verificano.
<BR>Quindi non esite un multiplo di questo famigerato numero p=/=2,3,5,7,17,241
<BR>Perciò tutti i numeri che verificano sono i prodotto dati dalle possibili permutazioni di questi cinque numeri che fungono. L\'insieme delle parti di 5 è 32, togliendo il vuoto abbiamo 31 numeri che verificano.
<BR>
<BR>EDIT: Cazzato calcoli, evidentemente in preda a dislessia <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">, corretta, sperum ben<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 12-11-2004 20:29 ]
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

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Messaggio da Melkon » 01 gen 1970, 01:33

urca chiedo umilmente perdono per la incresciosa svista... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>quindi dato che il problema uno (che ora appare l\'unico alla mia portata...) ci è stato rubato con una velocità inenarrabile, ... buon lavoro a voi, e in bocca al lupo per mercoledì soprattutto a chi ora è al triennio, ergo \"so\' caxxi\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Già...cmq per Melkon...
<BR>[1]
<BR>E\' vero che 2k^2+1=a^2 è verificato per infinite coppie (a,k)? si. Ecco un modo per verificarlo:
<BR>Se (a,k) è soluzione, lo è anche ((2a^2-1),2ak)
<BR>Infatti per ipotesi
<BR>2k^2+1=a^2
<BR>e quindi deve essere
<BR>2*4a^2k^2+1=4a^4+1-4a^2
<BR>a^2(2k^2+1)=a^4 vero perchè (a,k) è soluzione e così costruiamo infinite coppie. Per la cronaca ho trovato la soluzione sostituendo a k il valore mk e poi vedendo nei calcoli che il tutto funzionava per m=2a...
<BR>
<BR>Per il problema 4 sono incartato. Forse se dimostro che ciò ha infinite sol sono a posto ma nn ne sono sicuro, dato che nei calcoli potrei avere commesso errori o perso perso qualche condizione...
<BR>(c^2-b^2)(a^2-1)=(b^2-a^2)(c^2-1)
<BR>per infinite terne (a,b,c)...per la cronaca a,b,c sono i 3 quadrati del problema
<BR>Oppure si può tentare un approccio tipo quelle per il problema di Malkom...mah! Suggerimenti?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 12-11-2004 20:28 ]

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