[N] Crogiuolo di Teoria dei Numeri.

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

una radice primitiva è semplicemente una classe di resto modulo m tale che il suo ordine moltiplicativo sia il massimo possibile, cioè appunto phi(m)
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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Ho capito...così tutto torna. Bisognerebbe però dimostrare che questa classe di resto modulo m esista sempre (almeno mod p), teorema che forse Euler ha dato per scontato ma che nn conosco..magari la dimostrazione nn è nemmeno difficile...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 14-11-2004 19:36 ]

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-14 19:24, info wrote:
<BR>Per quanto pensavo una radice primitiva mod p è un numero che appartiene all\'insieme <!-- BBCode Start --><B>{</B><!-- BBCode End -->1, 2, ..., p-1<!-- BBCode Start --><B>}</B><!-- BBCode End -->...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Beh, pensavi proprio male, info... In vero, fissato un n intero > 1, si dice che un certo g € Z è una radice primitiva mod n sse: ord<sub>g</sub>(n) = phi(n). Ora, c.n.s. affinché esistano radici primitive mod n è che n sia pari a 2 o a 4 oppure che sia della forma p<sup>k</sup> o 2p<sup>k</sup>, ove p è un numero primo naturale qualsiasi > 2 e k € N<sub>0</sub>. Si dimostra fra l\'altro che, se esiste almeno una radice primitiva mod n, allora l\'insieme {g € N: g < n & ord<sub>g</sub>(n) = phi(n)} ha cardinalità pari a phi(phi(n)), ove phi(·) è la solita funzione di Eulero. Dunque, se p è un numero primo in N, allora esistono phi(phi(p)) = phi(p-1) radici primitive mod p fra gli interi 1, 2, ..., p-1. Si potrebbe dire ancora moltissimo sul conto delle radici primitive, ma certo non è questa la sede... una volta o l\'altra, magari, si finirà per aprire qualche <!-- BBCode Start --><I>thread</I><!-- BBCode End --> dedicato interamente al <!-- BBCode Start --><I>topic</I><!-- BBCode End -->! Per il momento, fatti bastare le informazioni che ti ho reso...
<BR>
<BR>P.S.: ah, quasi dimenticavo! Mi sono permesso di <!-- BBCode Start --><I>cesellare</I><!-- BBCode End --> le tue parentesi, non volermene più del necessario...
<BR>
<BR>EDIT1: ah, se ti interessa farti le ossa, ci stanno giusto un paio di problemi che avevo pubblicato tempo addietro qui sul forum (prova a cercarli un po\' tu) che, ad oggi, attendono ancora soluzione e che hanno appunto attinenza con la teoria delle radici primitive. Ciò detto, ciao...
<BR>
<BR>EDIT2: grazie a marco per la notifica del mio <!-- BBCode Start --><I>sgarro</I><!-- BBCode End -->, adesso pezzato!
<BR>
<BR>
<BR>\"Per quanto è possibile, bisognerebbe concedere un favore a tutti: spesso, infatti, si ha bisogno di qualcuno più piccolo.\" - Jean de La Fontaine <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-11-2004 15:57 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<a href=\"http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... =5\"><font color=blue>Qui</font></a> puoi visionare la soluzione (parecchio) parziale di lordgauss e Biagio ad uno splendido - mi sia concesso dirlo - problema di Teoria dei Numeri attinenente un caso (molto) particolare del teorema di Dirichlet sui primi nelle progressioni aritmetiche. Così come ti verrà confermato dalla lettura, la loro soluzione fa uso delle radici primitive.
<BR>
<BR><a href=\"http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... =5\"><font color=green>Qua</font></a> trovi poi la soluzione ad un quesito posto, qualche tempo addietro, giust\'appunto da Biagio: anche stavolta si parla di radici primitive... Inoltre, nello stesso <!-- BBCode Start --><I>thread</I><!-- BBCode End -->, propongo di risolvere un simpatico problema ad oggi ancora insoluto!!! Indovina un po\' cosa riguarda?
<BR>
<BR>Se ne trovo altri, magari li aggiungo di seguito. Diciamo che come inizio può essere anche sufficiente, su... Buono studio, info!
<BR>
<BR>EDIT: ho messo a posto quel link. Grazie a info per la segnalazione!
<BR>
<BR>
<BR>\"Perdoniamo tutto a noi stessi e nulla agli altri.\" - Jean de La Fontaine<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-11-2004 15:37 ]

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Ho letto la tua sol di quel quesito , HitlEuler (hai messo due link uguali, te ne sei accorto?). Se ho ben capito una radice primitiva prende anche il nome di generatore. Forse per la proprietà da tè usata, inzialmente, e cioè che se g è un generatore modulo p, esiste univocamente determinato un k per ogni a=1,2,…,p-1 tra gli intermi 0,1,…p-2 tale che a=g<sup>k</sup> mod p..proprietà che nn è difficile da verificare (l’ho dovuto fare per esercizio)…. Detto questo, avevo in progetto di scrivere la soluzione al quesito che si trova nella stessa pagina. La mia sol seguiva come modello quella di Euclide per l’infinità dei numeri primi e, avendo come premessa un insieme finito di primi, ne costruivo (usando Dirichlet) uno nuovo che rispettava le condizioni. Mentre la scrivevo su computer, dopo essermi incasinato con le potenze mi sono accorto però di un insanabile errore…peccato…sono gli incerti di fare i calcoli la sera mentre sai che dovresti fare altro (tipo prepararti per un compito di tedesco)!
<BR>
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 16-11-2004 15:06 ]

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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-14 19:52, HiTLeuLeR wrote:
<BR>Dunque, se p è un numero primo in N, allora esistono phi(p) = p-1 radici primitive mod p fra gli interi 1, 2, ..., p-1.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Caspita, non capita spesso di beccare Hit in flagrante: in verità p-1 sono gli elementi invertibili (mod p), che sono tutti tranne 0. In generale non sono tutti anche radici primitive. Anzi: hai detto due righe sopra che devono essere phi(phi(p)).
<BR>
<BR>Comunque, sviste o non sviste, Hit resta un campione di precisione, da queste parti. E solitamente, da lui c\'è da imparare un pozzo di cose.
<BR>
<BR>@Info: Il teorema che cita Hit (su quali interi n ammettano un generatore moltiplicativo) non è banale. Richiede un po\' di nozioni da prim\'anno di Algebra (direi, teoria dei campi finiti, e un po\' di teoria di Galois, a occhio...). Non credo esistano dimostrazioni elelmentari del fatto. Però, se ti serve per un numero finito di n, nessuno ti vieta di dimostrarlo per ogni singolo n, facendo i biechi conti...
<BR>
<BR>[stupiderie]
<BR>Ad esempio: 1 è g.m. mod.2; 2 è g.m. mod.3, 3 è g.m. mod.4. Si dimostra facilmente per induzione che n-1 è generatore moltiplicativo mod n.
<BR>[/stupiderie]
<BR>
<BR>Saluti.
<BR>
<BR>M.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 16-11-2004 15:45 ]
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-16 15:36, marco wrote:
<BR>@Info: Il teorema che cita Hit (su quali interi n ammettano un generatore moltiplicativo) non è banale. Richiede un po\' di nozioni da prim\'anno di Algebra (direi, teoria dei campi finiti, e un po\' di teoria di Galois, a occhio...). Non credo esistano dimostrazioni elelmentari del fatto.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Come ho detto già altrove, questo non è vero, marco! Ricordo che tu e Mind, proprio in relazione ad uno dei due <!-- BBCode Start --><I>thread</I><!-- BBCode End --> linkati qui sopra (per la precisione, quello in cui si discute del teorema di Dirichlet), avete già sostenuto, con tono scanzonato, la tesi secondo cui la dimostrazione dell\'esistenza di una radice primitiva per i <!-- BBCode Start --><I>soli</I><!-- BBCode End --> interi positivi delle forme indicate nel mio ultimo post sarebbe tutt\'altro che elementare, richiedendo in effetti nozioni semi-avanzate di Algebra (suppongo che il riferimento fosse alla Teoria dei Gruppi). Ebbene, come già allora ebbi a rispondervi, la realtà dei fatti è ben diversa. In tal senso, vi proporrei di dare una lettura alle <!-- BBCode Start --><I>Disquisitiones</I><!-- BBCode End --> di Karl Friedrich, possibilmente in lingua originale. Ciau... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>
<BR>\"Ridere degli uomini di buon senso è privilegio degli stolti.\" - Jean de La Bruyère <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-11-2004 16:11 ]

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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Provo l\'harder... con un po\' di brute force si risolve tutto!!!
<BR>
<BR>Per avere tutti i generatori basta avere tutti i non generatori. Detto g un generatore (mod p) e assunto che p-1=p<sub>1</sub><sup>a<sub>1</sub></sup>p<sub>2</sub><sup>a<sub>2</sub></sup>p<sub>3</sub><sup>a<sub>3</sub></sup>...p<sub>n</sub><sup>a<sub>n</sub></sup> allora tutti i non generatori saranno tutti quelli della forma g<sup>k</sub></sup> con MCD(p-1,k)=/=1. Utilizzando il P.I.E. avremo che:
<BR>
<BR>sum<sub>non generatori</sub>=sum sum[k=1..(p-1)/p<sub>i</sub>] g<sup>kp<sub>i</sub></sup> - sum[n>=i>j>=1] sum[k=1..(p-1)/(p<sub>i</sub>p<sub>j</sub>)] g<sup>kp<sub>i</sub>p<sub>j</sub></sup> +... + (-1)<sup>n-1</sup>sum[k=1..(p-1)/(p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>)]g<sup>kp<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub></sup>
<BR>
<BR>Ma per ogni p-1>j>0 abbiamo che :
<BR>
<BR>sum[k=1..(p-1)/j] g<sup>kj</sup>= sum[k=0..((p-1)/j)-1] (g<sup>j</sup>)<sup>k</sup>= ((g<sup>j</sup>)<sup>((p-1)/j-1)+1</sup>-1)/(g<sup>j</sup>-1)=(g<sup>p-1</sup>-1)/(g<sup>j</sup>-1)==0 (mod p)
<BR>
<BR>La congruenza ultima è vera poichè se p-1>j>0 allora g<sup>j</sup>-1=/=0 (mod p)
<BR>
<BR>Quindi riassumendo abbiamo che tutti i termini nella somma diventano sicuramente nulli mod p a parte l\'ultimo e quindi abbiamo che:
<BR>sum<sub>non generatori</sub>==(-1)<sup>n-1</sup>sum[k=1..(p-1)/(p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>)]g<sup>kp<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub></sup> (mod p)
<BR>
<BR>Ora dobbiamo distinguere 2 casi: p-1=p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub> e p-1=/=p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>. Partiamo dal 2° caso: abbiamo che sum[k=1..(p-1)/(p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>)]g<sup>kp<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub></sup>==0 (mod p) e quindi sum<sub>non generatori</sub>==0.
<BR>Nel 1° caso avremo invece che sum[k=1..(p-1)/(p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub>)]g<sup>kp<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>n</sub></sup>=g<sup>p-1</sup>==1 (mod p).
<BR>
<BR>Ora sappiamo che la somma dei generatori + la somma dei non generatori è uguale alla somma dei numeri da 1 a p-1 (mod p) e quindi avremo che:
<BR>sum<sub>generatori</sub>=sum i - sum<sub>non generatori</sub>==p*(p-1)/2-sum<sub>non generatori</sub> (mod p)
<BR>Ma, visto che quindi è dispari (maggiore di 2) sarà che p*(p-1)/2==0 (mod p) e quindi:
<BR>sum<sub>generatori</sub>==-sum<sub>non generatori</sub> (mod p).
<BR>
<BR>Ma -sum<sub>non generatori</sub> abbiamo visto che è congrua a 0 se, dicendo che p-1=prodp<sub>i</sub><sup>a<sub>i</sub></sup>, almeno uno tra gli a<sub>i</sub> è maggiore di 1. Se invece tutti gli a<sub>i</sub> sono uguali a 1 avremo che -sum<sub>non generatori</sub>==(-1)<sup>n</sup>. Questi due casi sono proprio la definizione di mu di Moebius di p-1 (ricordiamo che p-1 è maggiore 1).
<BR>
<BR>c.v.d.
<BR>
<BR>P.S.: Ho scritto tutto un po\' di fretta, spero di non aver fatto casini nello scrivere
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 16-11-2004 21:16 ]

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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-16 16:08, HiTLeuLeR wrote:
<BR>la dimostrazione dell\'esistenza di una radice primitiva per i <!-- BBCode Start --><I>soli</I><!-- BBCode End --> interi positivi delle forme indicate nel mio ultimo post sarebbe tutt\'altro che elementare, richiedendo in effetti nozioni semi-avanzate di Algebra (suppongo che il riferimento fosse alla Teoria dei Gruppi). Ebbene, come già allora ebbi a rispondervi, la realtà dei fatti è ben diversa [...]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ciao Hit. Beh, no: il <!-- BBCode Start --><I>tono scanzonato</I><!-- BBCode End --> non te lo lascio passare (almeno per me, per M/F non me la sento di giudicare): il tono era serio e sincero.
<BR>
<BR>Sono tutt\'ora convinto delle mie asserzioni, ma non voglio fare guerre di religione su questo p.to: non ho problemi nell\'ammettere le mie ignoranze (non si finisce mai di imparare); se una dimostrazione elementare esiste (come non dubito che sia, date le tue affermazioni) -beh- vediamola...
<BR>
<BR>Per quanto riguarda la teoria dei campi finiti, intendevo proprio la teoria dei campi (=strutture algebriche dove si fanno sensatamente la più, la per, la meno e la diviso, con uno zero e un uno) finiti (=con un numero finito di elementi) che è, secondo il mio gusto, una branca affascinante dell\'Algebra:
<BR>
<BR>Just to taste it:
<BR>
<BR>(i puristi olimpiadeschi mi perdonino le nozioni avanzate, chi crede può anche saltare senza perdere nulla nel discorso...)
<BR>
<BR>Esiste uno ed un solo campo finito (modulo isomorfismi) di cardinalità n sse n=p^k. Il campo ha caratteristica p. Il campo con p elementi (che è detto il campo base) sono gli interi modulo p. I campi con p^k elementi sono (per esempio) le congruenze di polinomi a coefficienti mod p modulo un polinomio irriducibile mod. p di grado k. Un campo con p^k elementi contiene un campo con p^h elementi sse h divide k. Le estensioni di campi finiti (e qui entra in ballo la teoria di Galois) hanno gruppo di Galois ciclico, e si scrive esplicitamente il generatore (mi pare si chiami isomorfismo di Frobenius). Ma, <!-- BBCode Start --><I>last, but non least</I><!-- BBCode End -->, il gruppo moltiplicativo di tutti i campi finiti è ciclico.
<BR>
<BR>Sono questi ultimi fatti che permettono di dire, in modo un po\' mirabolante, che gli interi mod p^k invertibili hanno un g.m. (=grande maestro???) [ok, ok, prima che mi linciate, ci vuole p dispari, da qualche parte...]
<BR>
<BR>Esempio carino, per visualizzare la situazione: il campo con 4 elementi sono le classi di resto di polinomi a coefficienti mod.2 per un polinomio irriducibile di secondo grado. Dato che c\'è una scelta abbondantissima, prendo come polinomio irriducibile x<sup>2</sup>+x+1. Allora gli elementi di questo campo, che si chiama F<sub>4</sub>, sono: 0, 1, x, x+1.
<BR>
<BR>La somma è ovvia. La moltiplicazione recita:
<BR>0.z=0 1.z=z (per ogni z, e grazie tante!)
<BR>
<BR>x.x = x+1 (resto di x<sup>2</sup> mod x<sup>2</sup>+x+1)
<BR>x.(x+1) = x.x + x = x+1 + x = 1
<BR>
<BR>ahhhh, x+1 è l\'inverso di x!
<BR>
<BR>(x+1)<sup>2</sup> = x<sup>-2</sup> = (x<sup>2</sup>)<sup>-1</sup> = (x+1)<sup>-1</sup> = x.
<BR>
<BR>x genera il gruppo moltiplicativo.
<BR>
<BR>Lo stesso gruppo lo puoi vedere come le matrici 2x2 a coeff. mod.2, generate da
<BR>1 = matrice id. e x = (0 1
<BR>................................1 1).
<BR>
<BR>Per finire, si noti che questo campo NON è gli interi mod.4 (che non sono un campo: 2 non ha l\'inverso). Ma è (Z/2Z)<sup>2</sup> [=le coppie mod.2], con la struttura di somma naturale, ma un prodotto tutt\'altro che ovvio.
<BR>
<BR>E\' chiaro che una serie di ragionamenti così si fanno solo alla fine del prim\'anno di Algebra. Per questo ho sostenuto e sostengo che il risultato (assolutamente vero e sacrosanto) non è elementare. Ma, ripeto, sono prontissimo a tornare sui miei passi a prova contraria.
<BR>
<BR>Senza rancore.
<BR>
<BR>M.[addsig]
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-19 14:35, marco wrote:
<BR>Ciao Hit. Beh, no: il <!-- BBCode Start --><I>tono scanzonato</I><!-- BBCode End --> non te lo lascio passare (almeno per me, per M/F non me la sento di giudicare). [...]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Beh, sì, in effetti ho fatto di tutt\'erbe un fascio... <!-- BBCode Start --><I>peto veniam</I><!-- BBCode End -->! Soprattutto <!-- BBCode Start --><I>peto</I><!-- BBCode End -->...
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-19 14:35, marco added:
<BR>[...] non ho problemi nell\'ammettere le mie ignoranze (non si finisce mai di imparare) [...].
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>...né io le mie, d\'altro canto! Prendiamo appunto il nostro caso: ignorando quasi completamenta l\'organizzazione dei corsi seguiti a Matematica, e tanto più di quelli erogati alla SNS, ho creduto, molto ingenuamente, che il tuo riferimento all\'Algebra riguardasse realmente la Teoria dei Gruppi, convinto (e me ne scuso) che quest\'ultima venisse introdotta congiuntamente alla Teoria dei Campi, o meglio nell\'arco del medesimo ciclo di lezioni.
<BR>
<BR>Tanto più che - e forse è questo ad avermi tratto in inganno, e non per giustificarmi - una dimostrazione dell\'esistenza di almeno una radice primitiva mod m e la determinazione conseguente degli m interi > 1 per i quali tale condizione risulta soddisfatta può anche dedursi, senza ricorrere alla Teoria dei Campi, utilizzando <!-- BBCode Start --><I>più semplicemente</I><!-- BBCode End --> il teorema di rappresentazione di Kronecker per i <!-- BBCode Start --><B>gruppi</B><!-- BBCode End --> (ecco perché ho creduto che il tuo riferimento all\'Algebra riguardasse, in verità, questi ultimi). Mi scuso nuovamente, ché la mia ignoranza non conosce né limiti né pudore...
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-19 14:35, marco continued:
<BR>[...] se una dimostrazione elementare esiste (come non dubito che sia, date le tue affermazioni) - beh - vediamola...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ti dirò, la dimostrazione non è fra le più semplici di questo mondo (per essere precisi, è piuttosto lunga e articolata), ma è pur sempre \"elementare\", nel senso che utilizza esclusivamente nozioni e risultati della Teoria Elementare dei Numeri. Tuttavia, siccome - ripeto - è piuttosto <!-- BBCode Start --><I>diluita</I><!-- BBCode End -->, anziché postarla in prima persona ed avere così il privilegio, io solo, d\'estinguere l\'avida tua sete di conoscenza, farò qualcosa di meglio... aprirò - come già avevo promesso - un nuovo <!-- BBCode Start --><I>topic</I><!-- BBCode End -->, dedicato interamente alle radici primitive, proponendo via via il <!-- BBCode Start --><I>proof</I><!-- BBCode End --> di alcune proprietà intermedie in parte necessarie al <!-- BBCode Start --><I>nostro</I><!-- BBCode End --> obiettivo <!-- BBCode Start --><I>comune</I><!-- BBCode End -->: smontare pezzo a pezzo le tue false convinzioni! <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-19 14:35, marco concluded:
<BR>Senza rancore.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ma ci mancherebbe altro!!! E mi raccomando, pure se non lo credo necessario: fa\' che sia lo stesso anche per te! Saluti... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>
<BR>\"Le belle parole dei saggi e dei poeti di tutto il mondo mi aiutano spesso a dire quello che non so esprimere.\" - Romano Battaglia<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 19-11-2004 21:39 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 16-11-2004, 21:12, Simo_the_Wolf wrote:
<BR>[...] per ogni p-1 > j > 0, abbiamo che:
<BR>sum[k=1..(p-1)/j] g<sup>kj</sup> = sum[k=0..((p-1)/j)-1] (g<sup>j</sup>)<sup>k</sup> = ((g<sup>j</sup>)<sup>((p-1)/j-1)+1</sup>-1)/(g<sup>j</sup>-1)=(g<sup>p-1</sup>-1)/(g<sup>j</sup>-1)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Eh, non proprio! Difatti, per ogni a € R\\{1} ed ogni n € N<sub>0</sub>: sum<sub>k=1...n</sub> a<sup>k</sup> = [(a<sup>n+1</sup> - 1)/(a - 1)] - 1 = a · [(a<sup>n</sup> - 1)/(a - 1)], sicché - per a := g<sub>j</sub>, essendo j un qualunque divisore intero positivo di p-1:
<BR><center>sum<sub>k=1...(p-1)/j</sub> (g<sup>j</sup>)<sup>k</sup> = <!-- BBCode Start --><B>g</B><!-- BBCode End --> · [(g<sup>p-1</sup> - 1)/(g<sup>j</sup> - 1)].</center>
<BR>Il resto va più che bene, Simo, i miei più vivi complimenti!!! Molto bravo, davvero. Beh, a questo punto non resta che un miserando problemotto di livello medio, da risolvere... Su, che qualcuno si dia una mossa!
<BR>
<BR>
<BR>\"Persino le maschere della vita sono maschere di un mistero più profondo.\" - Kahlil Gibran<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 19-11-2004 21:55 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Questa mi era sfuggita... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-16 15:36, marco wrote:
<BR>[stupiderie]
<BR>Ad esempio: 1 è g.m. mod.2; 2 è g.m. mod.3, 3 è g.m. mod.4. Si dimostra facilmente per induzione che n-1 è generatore moltiplicativo mod n.
<BR>[/stupiderie]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ehmm... in che modo mai vorresti applicare l\'induzione, marco, se - come già si è detto - solo <!-- BBCode Start --><I>alcune</I><!-- BBCode End --> classi (molto) speciali di interi > 1 ammettono l\'esistenza di almeno <!-- BBCode Start --><I>una</I><!-- BBCode End --> radice primitiva? Che al di là di queste considerazioni, poi, si potrebbe pure osservare, molto più pedestremente, che: 8 | 48, sicché: 7<sup>2</sup> = 1 mod 8, e quindi 7 non è una radice primitiva mod 8. Ho capito, hai scelto di restituirmi così il <!-- BBCode Start --><I>favore</I><!-- BBCode End -->, che caro... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR>
<BR>\"Jean de La Bruyère ci invita a riflettere sul fatto che...: \'Alcuni parlano un istante prima di pensare\'. Credete che l\'avesse su con me, quel gran pezzo d\'uno st***zo?!?\" - HiTLeuLeR <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 19-11-2004 22:03 ]

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

[more stupiderie]
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-19 22:01, HiTLeuLeR wrote:
<BR>Ehmm... in che modo mai vorresti applicare l\'induzione, marco[...]?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Più o meno nello stesso modo con cui si dimostra per induzione che tutti i numeri dispari >=3 sono primi:
<BR>
<BR>3 è primo, 5 è primo, 7 è primo; si lascia il resto della dimostrazione come facile esercizio per il lettore. []
<BR>[/more stupiderie]
<BR>
<BR>Ok. Fuor di celia: quand\'è che n-1 è g.m. mod n?
<BR>
<BR>Beh, intanto dire n-1 o -1 è lo stesso. Un conto immediato mostra che l\'o.m. di -1 è 2. [ok: prima che Hit insorga: nel caso degenere n=1 o 2, o.m.=1.] Quindi -1 è g.m. sse phi(n) = 2 [o n = 1 o 2]. Considerando che phi() è moltiplicativa, basta vedere sugli n potenze di primo. phi(p^k) = (p-1)*p^(k-1), quindi fa 2 solo in corrispondenza di n = 3 o 4. phi(p^k) = 1 sse n = 1, 2. Mettendo insieme questi risultati, trovo che phi(n) = 2 sse n in {3,4,6}, quindi -1 è g.m. solo per i moduli 1, 2, 3, 4 e 6. []
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.
<BR>
<BR>P.S. per Hit. Per quanto riguarda l\'altro messagio, quello serio: siamo d\'accordo su tutto. Anzi: non vedo l\'ora.[addsig]
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-19 21:54, HiTLeuLeR wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 16-11-2004, 21:12, Simo_the_Wolf wrote:
<BR>[...] per ogni p-1 > j > 0, abbiamo che:
<BR>sum[k=1..(p-1)/j] g<sup>kj</sup> = sum[k=0..((p-1)/j)-1] (g<sup>j</sup>)<sup>k</sup> = ((g<sup>j</sup>)<sup>((p-1)/j-1)+1</sup>-1)/(g<sup>j</sup>-1)=(g<sup>p-1</sup>-1)/(g<sup>j</sup>-1)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Eh, non proprio! Difatti, per ogni a € R\\{1} ed ogni n € N<sub>0</sub>: sum<sub>k=1...n</sub> a<sup>k</sup> = [(a<sup>n+1</sup> - 1)/(a - 1)] - 1 = a · [(a<sup>n</sup> - 1)/(a - 1)], sicché - per a := g<sub>j</sub>, essendo j un qualunque divisore intero positivo di p-1:
<BR><center>sum<sub>k=1...(p-1)/j</sub> (g<sup>j</sup>)<sup>k</sup> = <!-- BBCode Start --><B>g</B><!-- BBCode End --> · [(g<sup>p-1</sup> - 1)/(g<sup>j</sup> - 1)].</center>
<BR>Il resto va più che bene, Simo, i miei più vivi complimenti!!! Molto bravo, davvero. Beh, a questo punto non resta che un miserando problemotto di livello medio, da risolvere... Su, che qualcuno si dia una mossa!
<BR>
<BR>
<BR>\"Persino le maschere della vita sono maschere di un mistero più profondo.\" - Kahlil Gibran<font color=white>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 19-11-2004 21:55 ]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Innanzitutto grazie per i complimenti, ma vorrei farti osservare che ho scritto apposta un passaggio in più per evitarmi g in più, come puoi vedere anche nella tua stessa citazione sum[k=1..(p-1)/j] g<sup>kj</sup> = sum[k=0..((p-1)/j)-1] (g<sup>j</sup>)<sup>k</sup> in quanto ovviamente g<sup>p-1</sup>==1 (mod p)

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-24 22:33, Simo_the_wolf wrote:
<BR>[...] come puoi vedere anche nella tua stessa citazione sum[k=1..(p-1)/j] g<sup>kj</sup> <!-- BBCode Start --><B><font color=red>=</font></B><!-- BBCode End --> sum[k=0..((p-1)/j)-1] (g<sup>j</sup>)<sup>k</sup> in quanto ovviamente g<sup>p-1</sup><font color=blue>==</font>1 (mod p).
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ah, adesso ho capito! In altri termini, l\'uguaglianza evidenziata in rosso nel <!-- BBCode Start --><I>quote</I><!-- BBCode End --> va intesa nel senso delle congruenze mod p. Ingenuamente, mi ero convinto che tu avessi operato una pura sostituzione nell\'indice di somma (i.e., j -> j - 1) e che avessi quindi scordato di <!-- BBCode Start --><I>rimpiazzare</I><!-- BBCode End --> conseguentemente gli esponenti. Mi toccano (ben volentieri) delle scuse!!!
<BR>
<BR>
<BR>\"Dio giudica l\'albero dai frutti, non dalle radici.\" - saggezza antica<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 24-11-2004 23:20 ]

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