[A] Disuguaglianza balcanica

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Visto che gli esercizi scarseggiano posto qualcosa io.
<BR>
<BR>Provare che, presi x,y,z reli >=0 con somma 1, si ha
<BR>2<=(1-x<sup>2</sup>)<sup>2</sup>+(1-y<sup>2</sup>)<sup>2</sup>+(1-z<sup>2</sup>)<sup>2</sup><=(1+x)(1+y)(1+z)
<BR>
<BR>La parte a sinistra credo di averla risolta, sulla parte a destra sto sbattendo la testa da giorni.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 10-11-2004 14:01 ]
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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Ci provo. E’ una delle mie prime disuguaglianze (in effetti le trovo un po’ noiose) e la prima che tento con la trigonometra!
<BR>
<BR>Posto x=cosa; y=cosb; z=cosc, il tutto si riscrive
<BR>sena*senb*senc<=(1+cosa)(1+cosb)(1+cosc)
<BR>applicando bisezione ad entrambi i membri e precisamente le formule:
<BR>senx=2sen(x/2)*cos(x/2)
<BR>1+cosx=2cos^2(x/2)
<BR>si trova
<BR>sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2)<=cos(a/2)*cos(b/2)*cos(c/2) [1]
<BR>Invece la relazione x+y+z=1 diventa
<BR>sen^(a/2)+sen^2(b/2)+sen^2(c/2)=1 e quindi [2]
<BR>cos^2(a/2)+cos^2(b/2)+cos^2(c/2)=2 [3]
<BR>questo suggerisce di elevare la uno al quadrato ed eliminare per esempio la variabile a. Posto per comodità sen^(b/2)=X e sen^(c/2)=Y, si trova
<BR>(1-X-Y)XY<=(X+Y)(1-X)(1-Y) che svolti i calcoli
<BR>(X+Y)^2+XY[2(X+Y)-1]>=0
<BR>ora si può sempre scegliere b e c di modo che X+Y>1/2 e ciò deriva dalla [2]…questo spero concluda la parte destra…
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 10-11-2004 19:01 ]

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Ho risolto un\'altra dis..ma porca t***a!
<BR>Quella mi sembra purtroppo più forte della mia... Io ora nn ho voglia di provare se il medesimo approccio porta a qualcosa con l\'altra...magari domani...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 10-11-2004 20:23 ]

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Ok…ci riprovo ma senza trigonometria…
<BR>Svolgiamo i calcoli, trovando:
<BR>x^4+y^4+z^4-2*(x^2+y^2+z^2)+1<=xyz+xy+yz+xz [1]
<BR>Ora ci vogliamo sbarazzare delle quarte potenze. Svolgendo i calcoli, troviamo forse che:
<BR>x^4+y^4+z^4=(x+y+z)^4 – 3* S (x^2y^2) – 4*S(x^3y) – 6 * S(x^2yz) ma dato che i coefficienti sono prob errati per i miei calcoli riscrivo.
<BR>x^4+y^4+z^4=(x+y+z)^4 - a* S (x^2y^2) – b * S(x^3y) – c * S(x^2yz) con a,b,c naturali e 6*(a+b+c)+3=81 [questa condizione perlomeno è rispettata dai mieia calcoli !] [2]
<BR>Dove con S si è indicata la somma sulle permutazioni di (x,y,z) ovverosia 6 elementi per ogni S.
<BR>Riscrivo quindi la [1]:
<BR>2<= a * S (x^2y^2) + b * S(x^3y) + c * S(x^2yz) + 2*(x^2+y^2+z^2) + xyz+xy+yz+xz
<BR>Tramite la AM-GM si può riscrivere il secondo membro in funzione del solo xyz, che poniamo =k.
<BR>a* S (x^2y^2) + b * S(x^3y) + c * S(x^2yz) + 2*(x^2+y^2+z^2) + xyz+xy+yz+xz >= f(k) [3]
<BR>e quindi se f(k)>=2 siamo a posto invece se questa nn è verificata il tutto è falso dato che quella quantità può essere resa uguale ad f(k). Infatti la AM-GM prende il segno di uguaglianza in tutte le operazioni fatte se x=y=z…
<BR>Abbiamo sempre per la AM-GM delle condizioni su k e cioè 0< k< =1/27...Dato che la derivata f’(k) è positiva, essendo i coefficienti di k sempre positivi e k elevato sempre ad esponente positivo (magari razionale ma questo nn cambia) il massimo e minimo di f(k) nell’intervallo sono agli estremi. E’un problema calcolare f(k) all’ estremo, ma notiamo che f(k) è uguale al primo membro della [3] se x=y=z (ed in particolare=1/3)…Inoltre possiamo utilizzare la [2], ottenendo
<BR>f(k)=1-(x^4+y^4+z^4)+2*(x^2+y^2+z^2)+xyz+xy+xz+yz
<BR>Insomma, abbiamo fatto tutto il lavoro per liberarci delle quarte potenze e ce le ritroviamo ancora di fronte! Ora però hanno un loro valore e sostituendo x=y=z=1/3, si trova proprio f(k)=2…il che ci conforta….
<BR>
<BR>Ok…nn è proprio un metodo ortodosso ( e corretto? Magari mi sono incartato in errori logici: probabile) per risolvere quella roba…Io però nn ci provo ancora… Tiratela fuori voi l’applicazione originale di una dis classica!
<BR>A proposito, ma fph ha scritto anche qualcosa sulle disuguaglianze? Mi farebbe un gran bene!
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 11-11-2004 12:21 ]

fph
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Messaggio da fph » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-11 12:19, info wrote:
<BR>A proposito, ma fph ha scritto anche qualcosa sulle disuguaglianze? Mi farebbe un gran bene!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Avrei voluto provare a scriverci su qualcosa, ma temo di essere troppo scarso per cavarci qualcosa di buono. Le disuguaglianze sono un argomento molto tecnico... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>
<BR>--f
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Ora rileggo tutto info e poi ti so dire, la tua soluzione assomiglia molto, mi pare, a quella di kalva, quindi non credo sia errata. Ora propongo la mia, spero sia giusta.
<BR>
<BR>Poniamo f(x)=1-x<sup>2</sup>, abbiamo (se non ho sbagliato i calcoli) che tale funzione e concava in [-1,1], e poichè x+y+z=1 e x,y,z€R+, i nostri tre numeri sono nell\'intervallo, ora abbiamo.
<BR>f(x)<sup>2</sup>+f(y)<sup>2</sup>+f(z)<sup>2</sup>>=2
<BR>dividendo per 3 e estraendo la radice quadrata avremo a sinistra una media quadratica, quindi
<BR>Membro di sinistra>=(f(x)+f(y)+f(z))/3>=sqrt(2/3)
<BR>per Jensen
<BR>(f(x)+f(y)+f(z))/3>=f((x+y+z)/3), quindi rimane da dimostrare che
<BR>f(1/3)>=sqrt(2/3)
<BR>8/9>=sqrt(2/3)
<BR>64/81>=2/3
<BR>64>=54 q.e.d
<BR>
<BR>Ditemi se funziona
<BR>
<BR>
<BR>EDIT: Corretto concavità-convessità, quindi salta tutto per un errore di calcolo, e vabbè....<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 11-11-2004 22:41 ]
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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Perchè no? Mi pare corretto...ma aspettiamo conferma da altri...
<BR>Nn è che mi dici di che anno e gare è la dis così vedo anch\'io cosa dice kalva?...

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Messaggio da fph » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-11 20:35, Boll wrote:
<BR>Poniamo f(x)=1-x<sup>2</sup>, abbiamo (se non ho sbagliato i calcoli) che tale funzione e convessa in [-1,1], e poichè x+y+z=1 e x,y,z€R+, i nostri tre numeri sono nell\'intervallo, ora abbiamo.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>A me risulta un po\' concava... a meno che non sia io che sbaglio le derivate <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>Cmq, un altro motivo (un \"trucchetto del mestiere\") perche\' la tua soluzione non mi convince: il problema e\' che \"butti via\" qualcosa in un punto, cioe\' fai una disuguaglianza \"sharp\" (64>54, alla fine). Quindi, stando alla tua soluzione, dovrebbe valere il minore stretto. Tuttavia per x=y=z=1/3 vale l\'uguaglianza, quindi una soluzione che \"butti via\" qualcosa e\' quantomeno sospetta.
<BR>
<BR>spero di non dire fesserie...
<BR>ciao,
<BR>--f
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Azz, era un Austrian-Polish questa, l\'ho confusa con una Junior Balkan, il topic non posso più cambiarlo, poco male, non credo sia importante, eccoti il link, info.
<BR>
<BR>http://www.kalva.demon.co.uk/aus-pol/ap00.html
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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Aspetta fph sulle derivate nn ho controllato, ma Boll sta dimostrando la parte sinistra della disuguaglianza e nn quella destra (che ho cercato invece di affrontare io!) e per x=y=1/3 l\'uguaglianza nn vale...nn ho ancora provato con la parte sinistra, ma magari il <= può essere sostituito con un meno...
<BR>Anze guardando kalva sembra di no!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 11-11-2004 21:42 ]

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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

ok, visto che ormai la discussione è partita, posso dire la mia:
<BR>
<BR>con la condizione x+y+z=1 possiamo far diventare i tre membri della disuguaglianza omogenei di quarto grado, infatti
<BR>
<BR>2=2*1=2*(1)<sup>4</sup>=2(x+y+z)<sup>4</sup>
<BR>
<BR>(1-x<sup>2</sup>)<sup>2</sup>+(1-y<sup>2</sup>)<sup>2</sup>+(1-z<sup>2</sup>)<sup>2</sup>=((x+y+z)<sup>2</sup>-x<sup>2</sup>)<sup>2</sup>+((x+y+z)<sup>2</sup>-y<sup>2</sup>)<sup>2</sup>+((x+y+z)<sup>2</sup>-z<sup>2</sup>)<sup>2</sup>
<BR>
<BR>(1+x)(1+y)(1+z)=(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)(x+y+z)
<BR>
<BR>ora abbiamo tre espressioni omogenee e simmetriche.... bunching!
<BR>
<BR>oltretutto alla fine viene una cosa particolarmente semplice, del tipo
<BR>
<BR>sum<sub>sym</sub>(x<sup>4</sup>+8x<sup>3</sup>y+6x<sup>2</sup>y<sup>2</sup>+12x<sup>2</sup>yz)<=sum<sub>sym</sub>(x<sup>4</sup>+8x<sup>3</sup>y+7x<sup>2</sup>y<sup>2</sup>+16x<sup>2</sup>yz)<=sum<sub>sym</sub>(x<sup>4</sup>+9x<sup>3</sup>y+7x<sup>2</sup>y<sup>2</sup>+15x<sup>2</sup>yz)
<BR>
<BR>nota bene: sono perfettamente conscio che questa non sia una dimostrazione soddisfacente, e in effetti fa un po\' schifo anche a me... ma è pur sempre una soluzione che magari potrebbe essere di aiuto a qualcuno in futuro
<BR>
<BR>(il bunching è sempre una strada noiosa, inelegante, tutto quello che volete, ma a mio parere abbastanza salda in disguaglianze come questa)
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Messaggio da fph » 01 gen 1970, 01:33

Per il lato sx, l\'uguaglianza vale per x=y=0, z=1, quindi vale lo stesso ragionamento. Anzi, e\' un buon \"trick\" scartare tutte le idee di soluzione che prevedono che la disuguaglianza diventi \"sharp\" per 0,0,1 (es. una AM-GM immediatamente).
<BR>(se scrivo qualcosa sulle disuguaglianze, questo ce lo metto di sicuro <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> )
<BR>
<BR>Un altro modo per risolvere la parte sx (quella col 2, mi sembra che le soluzioni arrivate finora siano solo di quella, no?): e\' una disuguaglianza di \"unsmoothing\", direbbe il Kedlaya, controlliamo di poter minimizzare due termini alla volta \"spostando\" tutta la massa da un lato solo, cioe\':
<BR>[1] (1-x^2)^2+(1-y^2)^2>=(1-(x+y)^2)^2+ 1
<BR>cioe\' trasformiamo x,y --> x+y,0 (che mantiene la somma)
<BR>Se verifichiamo questo siamo a posto, perche\' basta applicarlo due volte.
<BR>E svolgendo i biechi conti la [1] dovrebbe venire...
<BR>
<BR>ciao,
<BR>--f
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: fph il 12-11-2004 08:16 ]
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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-12 08:16, fph wrote:
<BR>Un altro modo per risolvere la parte sx (quella col 2, mi sembra che le soluzioni arrivate finora siano solo di quella, no?): e\' una disuguaglianza di \"unsmoothing\", direbbe il Kedlaya, controlliamo
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: fph il 12-11-2004 08:16 ]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Mah...la mia sol era talmente corretta che nn si capisce neanche che il mio obiettivo era la parte destra! Ad un certo punto cambio verso e si trasforma in un 2<=qualcosa e questo può trarre in inganno...
<BR>Cmq Talpuz quante paginate di conte si fanno per una simile disuguaglianza con il bunching?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 12-11-2004 19:59 ]

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Io proporrei di abolire il bunching ...

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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

io ho usato un foglietto 15 cm * 15 cm, scrivendo un po\' in piccolo e su entrambe le facciate <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>(basta prenderci un po\' la mano e usare accorgimenti furbi, tipo calcolare una volta sola il coefficiente per una determinata distribuzione di esponenti (questo perchè tutte le espressioni sono simmetriche))
<BR>
<BR>sam, ho specificato anch\'io che come soluzione non mi soddisfa, ma è pur sempre una soluzione valida, che in una gara (ammesso che capiti una disuguaglianza \"bunch-abile\", cosa alquanto rara soprattutto de cesenatico compreso in giù) fa guadagnare lo stesso # di punti di una elegante...
<BR>
<BR>comunque non è vietato cercare e proporre altre soluzioni, anzi...
<BR>
<BR>tu hai qualcosa di meglio in mente, ad esempio?? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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