Progresso o regresso?

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Scusate il penosissimo titolo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
 Ecco due problemi che riguardano progressioni aritmentiche e geometriche.
 1)Dimostrare che nella progressione aritmetica
 3, 7, 11,..., 4n+3 ci sono infiniti numeri primi.
 
 2)Data una generica progressione geometrica a, aq, aq²,..., aq^n dimostrare che Gn=a+aq+aq²...+aq^n=
 a(1-q^(n+1))/(1-q).
 
 Ciao
 
 [addsig] [ This message was edited by: lordgauss on 2001-06-22 10:48 ]

Gauss · Messaggio da **Gauss** » 01 gen 1970, 01:33

Per ora risolvo il due che è facile facile.
 Sia W=a+aq+aq^2+...aq^n=a(1+q+...+q^n)
 Per la proprietà telescopica si ha che il prodotto (1+q+...+q^n)(1-q) è uguale a 1-q^(n+1) (tutti termini intermedi si vano infatti ad annullare e rimangono solo gli estremi, come quando uno prende un telescopio e lo chiude).
 Si ha quindi che (1-q)*W=a(1-q^(n+1)), quindi W=a*(1-q^(n+1))/(1-q).
 
 Dopo provo anche la seconda, ciaps

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Forte la proprietà telescopica! Ma l\'hai inventato tu questo termine? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 Ciao [addsig]

N3o · Messaggio da **N3o** » 01 gen 1970, 01:33

Non sono sicuro di questa dimostrazione, cmq la posto lo stesso.
 
 Ragioniamo per assurdo: supponiamo che i primi appartenenti alla successione data siano in numero finito. Sia p il più grande di essi e P il prodotto di *tutti* i primi minori o uguali a p (non solo quelli della successione).
 Osserviamo che 2P/3 + 3 appartiene alla successione, ed è primo, infatti:
 
 - e\' dispari
 - non è divisibile per 3
 - diviso per un primo maggiore di 3 dà resto 3
 
 Ma 2P/3 + 3 è maggiore di p, il che è una contraddizione, quindi la tesi è dimostrata.
 
 Fatemi sapere se secondo voi va tutto bene. Ciao! [ This message was edited by: N3o on 2001-06-22 20:44 ]

valentino · Messaggio da **valentino** » 01 gen 1970, 01:33

Oppure, se fossero finiti, ne faccio il prodotto, e
 sommo 2 o 4 in modo da ottenere ancora un
 numero della forma 4n+3.
 A questo punto, chiamato N questo numero,
 o N e\' primo, o e\' divisibile
 per qualche primo della forma 4n+3, poiche\'
 il prodotto di primi della forma 4n+1 e\' ancora un numero della forma 4n+1, e quindi se N fosse divisibile solo per primi 4n+1 sarebbe pure lui 4n+1.
 Ma se lo divido per ogni numero della forma 4n+3 ottengo resto 2 o 4, quindi e\' primo.

N3o · Messaggio da **N3o** » 01 gen 1970, 01:33

E\' giusta la tua, valentino, la mia è sbagliata.
 
 Ciao!

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

N3o, perchè la tua dimostrazione è sbagliata?[addsig]

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

N3o, perchè la tua dimostrazione è sbagliata?
 Ciao[addsig]

N3o · Messaggio da **N3o** » 01 gen 1970, 01:33

Perché 2P/3 + 3 potrebbe essere divisibile per un primo maggiore di p non incluso nella successione.

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

N3o, non sono d\'accordo. Al massimo puoi dire che la tua dimostrazione era incompleta. Infatti se 2P/3+3 non è primo, deve essere necessariamente essere divisibile per un nuovo primo del tipo 4r+3 (v. valentino).
 Ciao[addsig]

N3o · Messaggio da **N3o** » 01 gen 1970, 01:33

Hai ragione

valentino · Messaggio da **valentino** » 01 gen 1970, 01:33

Invece dimostrare che esistono infiniti primi della forma 4n+1 da quel che ne so e\' molto piu\' difficile! L\'unico modo che conosco sfrutta un teorema di teoria dei numeri non facile da dimostrare.
 
 Ancora piu\' difficile e\' dimostrare che esistono infiniti primi in ogni successione della forma an+b con a e b coprimi, una dimostrazione si trova sullo Shanks \"Solved and unsolved problems in number theory\", non mi ricordo se fosse completa o meno...