Ci sono certi simpaticoni in giro...
<BR>
<BR>comunque abbiamo appena visto come le congruenze siano uno strumento essenziale per le OdM (oggi su 3 dimostrazioni - compreso il biennio - 2 le usavano).
<BR>
<BR>Bene, quindi rispondete...
<BR>
<BR>suggerimento
<BR>
<BR>1) n^7-7 = n(n^6-1) = n(n³-1)(n³+1) = ...
<BR>2) (fermat) iniziamo con l\'induzione su n...
Congruenze
Moderatore: tutor
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Sandro84htw
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- Località: Modena
Non sono sicuro che il ragionamento possa filare....
<BR>Chiedo chiarimenti!
<BR>
<BR>Allora... Penso che nel quesito 3 i problemi più grossi siano stati dati dalla voce:
<BR>c) se x, y, z sono dei cubi allora a, b, c sono dei cubi
<BR>
<BR>x, y e z sono della forma n^3.
<BR>Per escludere la risposta è necessario che a, b, c non siano della forma n^3.
<BR>
<BR>Se consideriamo a, b, c della forma h^n, h^m, h^l, allora x=h^(n+m), y=h^(n+l) e z=h^(m+l)...
<BR>n+m deve essere congruo a 0 mod 3 come anche n+l e m+l
<BR>
<BR>n+m==0 (mod 3)
<BR>n+l==0 (mod 3)
<BR>m+l==0 (mod 3)
<BR>
<BR>n+m==m+l (mod 3)
<BR>n-l==0 (mod 3)
<BR>n+l==n-l (mod 3)
<BR>
<BR>Quindi:
<BR>2l==0 (mod 3)
<BR>l==0 (mod 3)
<BR>Sostituendo si ha:
<BR>n+0==0 (mod 3)
<BR>m+0==0 (mod 3)
<BR>
<BR>Ma allora se x, y, z sono dei cubi allora a, b, c devono essere dei cubi anch\'essi.
<BR>Attendo commenti...
<BR>Chiedo chiarimenti!
<BR>
<BR>Allora... Penso che nel quesito 3 i problemi più grossi siano stati dati dalla voce:
<BR>c) se x, y, z sono dei cubi allora a, b, c sono dei cubi
<BR>
<BR>x, y e z sono della forma n^3.
<BR>Per escludere la risposta è necessario che a, b, c non siano della forma n^3.
<BR>
<BR>Se consideriamo a, b, c della forma h^n, h^m, h^l, allora x=h^(n+m), y=h^(n+l) e z=h^(m+l)...
<BR>n+m deve essere congruo a 0 mod 3 come anche n+l e m+l
<BR>
<BR>n+m==0 (mod 3)
<BR>n+l==0 (mod 3)
<BR>m+l==0 (mod 3)
<BR>
<BR>n+m==m+l (mod 3)
<BR>n-l==0 (mod 3)
<BR>n+l==n-l (mod 3)
<BR>
<BR>Quindi:
<BR>2l==0 (mod 3)
<BR>l==0 (mod 3)
<BR>Sostituendo si ha:
<BR>n+0==0 (mod 3)
<BR>m+0==0 (mod 3)
<BR>
<BR>Ma allora se x, y, z sono dei cubi allora a, b, c devono essere dei cubi anch\'essi.
<BR>Attendo commenti...
Visto che tutti si dicono grandi appassionati di matematica, penso che qualcuno, a meno che non sia già molto superiore, sarà interessato ai seguenti problemi (che copio da sopra):
<BR>
<BR>1) Dimostrare che n^7 - n == 0 (7)
<BR>2) Dimostrare che se p è primo allora a^p - a == 0 (p)
<BR>
<BR>Fatti, non pugnette (citazione colta).
<BR>
<BR>1) Dimostrare che n^7 - n == 0 (7)
<BR>2) Dimostrare che se p è primo allora a^p - a == 0 (p)
<BR>
<BR>Fatti, non pugnette (citazione colta).
faccio un po\' il Lamer e risolvo questo problema sotrraendolo alle nuove leve...non deprecatemi per questo.
<BR>
<BR>b) dimostriamo qualcosa di un pochetto più generale, cioè
<BR> a^phi(n) == 1 (modn)
<BR> con n e a coprimi.
<BR> per poter dimostrarlo servono alcune conoscenze abbastanza elementari,ma che riesporrò per migliore comprensione.
<BR>
<BR>denotiamo con
<BR>
<BR>{Z|n} le partizioni di Z in modulo n.
<BR>
<BR>le partizioni modulari sono classi di equivalenza e si chiamano classi di congruenza.Le operazioni di moltiplicazione e addizione in {Z|n} sono ben definite, o meglio è un anello commutativo unitario.
<BR>
<BR>ok a questo punto denotiamo con {Z*|n} tutti gli elementi non nulli di {Z|n}.
<BR>chiamiamo invertibile un suo elemento a se esiste b per cui ab=1 .
<BR>chiamiamo b l\'inverso di a in mod n e lo denotiamo con a¨¹.
<BR>Denotiamo con U(n) l\'insieme degli interi invertibili.
<BR>un intero a è invertibile se a e n sono coprimi.
<BR>definiamo allora phi(n) come il numero di interi invertibili (cioè la cardinalità di U(n)).
<BR>in effetti si tratta allora di tutti gli interi coprimi con n minori di n.
<BR>se n è primo risulta che tutti gli interi sono coprimi non n.
<BR>
<BR>il prodotto di 2 elementi di U(n) è sempre un elemento di U(n).
<BR>se y appartiene a U(n) e poniamo che sia yU(n)={yx : x appartiene a U(n)}
<BR>allora è chiaro che yU(n)=U(n)
<BR>
<BR>ok passiamo alla dimostrazione del teorema:
<BR>
<BR>chiamiamo k=phi(n)
<BR> U(n)={x_1 , x_2 , ... x_k}
<BR>denominiamo y il prodotto di tutti gli x_k
<BR>y=x_1*x_2*...*x_k
<BR>poichè a appartiene a U(n) e dunque aU(n) = U(n) in {Z|n} abbiamo
<BR>
<BR>y = x_1*x_2*...*x_k = (ax_1)(ax_2)...(ax_k) = y*a^k
<BR>
<BR>y è invertibile in U(n), dunque possiamo moltiplicare per y¨¹
<BR>e otteniamo che a^k = 1 cioè a^phi(n) = 1.
<BR>QED.
<BR>
<BR>ora è facile dimostrare che questo teorema,detto di Fermat-Eulero implichi il Piccolo Teorema di Fermat.(questo è una proposta di esercizio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> )<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 24-02-2003 17:52 ]
<BR>
<BR>b) dimostriamo qualcosa di un pochetto più generale, cioè
<BR> a^phi(n) == 1 (modn)
<BR> con n e a coprimi.
<BR> per poter dimostrarlo servono alcune conoscenze abbastanza elementari,ma che riesporrò per migliore comprensione.
<BR>
<BR>denotiamo con
<BR>
<BR>{Z|n} le partizioni di Z in modulo n.
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<BR>le partizioni modulari sono classi di equivalenza e si chiamano classi di congruenza.Le operazioni di moltiplicazione e addizione in {Z|n} sono ben definite, o meglio è un anello commutativo unitario.
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<BR>ok a questo punto denotiamo con {Z*|n} tutti gli elementi non nulli di {Z|n}.
<BR>chiamiamo invertibile un suo elemento a se esiste b per cui ab=1 .
<BR>chiamiamo b l\'inverso di a in mod n e lo denotiamo con a¨¹.
<BR>Denotiamo con U(n) l\'insieme degli interi invertibili.
<BR>un intero a è invertibile se a e n sono coprimi.
<BR>definiamo allora phi(n) come il numero di interi invertibili (cioè la cardinalità di U(n)).
<BR>in effetti si tratta allora di tutti gli interi coprimi con n minori di n.
<BR>se n è primo risulta che tutti gli interi sono coprimi non n.
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<BR>il prodotto di 2 elementi di U(n) è sempre un elemento di U(n).
<BR>se y appartiene a U(n) e poniamo che sia yU(n)={yx : x appartiene a U(n)}
<BR>allora è chiaro che yU(n)=U(n)
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<BR>ok passiamo alla dimostrazione del teorema:
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<BR>chiamiamo k=phi(n)
<BR> U(n)={x_1 , x_2 , ... x_k}
<BR>denominiamo y il prodotto di tutti gli x_k
<BR>y=x_1*x_2*...*x_k
<BR>poichè a appartiene a U(n) e dunque aU(n) = U(n) in {Z|n} abbiamo
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<BR>y = x_1*x_2*...*x_k = (ax_1)(ax_2)...(ax_k) = y*a^k
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<BR>y è invertibile in U(n), dunque possiamo moltiplicare per y¨¹
<BR>e otteniamo che a^k = 1 cioè a^phi(n) = 1.
<BR>QED.
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<BR>ora è facile dimostrare che questo teorema,detto di Fermat-Eulero implichi il Piccolo Teorema di Fermat.(questo è una proposta di esercizio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> )<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 24-02-2003 17:52 ]
