una dimostrazione alternativa

Kalidor · Messaggio da **Kalidor** » 01 gen 1970, 01:33

Qualcuno può dare una dimostrazione non induttiva del famoso:
 
 1^2+2^2+3^2....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 ??
 
 Grazie a chi risponderà

Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

gh si può dare una bellissima dimostrazione grafica

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Chiedi ad Arosio, oppure fai una capatina al Fermi e sbircia il \"Fibonacci\" attaccato alla parete.
 Scusa se questa risposta è probabilmente irritante <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

a proposito...esiste una versione telematica del Fibonacci?
 (una serie di poster distribuiti a certe scuole di problemi famosi e risolti ma anche di problemi da risolvere)

XT · Messaggio da XT » 01 gen 1970, 01:33

Che cosa sarebbe il Fibonacci?
 E la dimostrazione grafica come si attua?

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

la mia dimostrazione è un bell\'esempietto di double counting..
 sfrutta questa: n^2 = sum..
 
 oppure una che sfrutta il fatto che questa sommatoria può essere espressa come polinomio di grado 3, per cui basta risolvere un sistema in 3 equazioni lineare per trovare i coefficienti...

dino · Messaggio da **dino** » 01 gen 1970, 01:33

scusa mago potresti essere più chiaro ed esplicito?

Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

la seconda ammetto di non averla capita,
 la prima richiede tanti conti ma è bellina,
 si basa sul fatto che un n^2 è la somma dei primi n numeri dispari
 quindi devi contare n volte il primo numero, n-1 volte il secondo ecc...
 è la maniera in cui lo dimostrai al mio prof

lakrimablu · Messaggio da **lakrimablu** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 
 oppure una che sfrutta il fatto che questa sommatoria può essere espressa come polinomio di grado 3, per cui basta risolvere un sistema in 3 equazioni lineare per trovare i coefficienti...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 
 sarà che ne capisco poco ma non riesco a farmi un\'idea...

lakrimablu · Messaggio da **lakrimablu** » 01 gen 1970, 01:33

lordgauss posso chiederti di dove sei?...

J4Ck202 · Messaggio da **J4Ck202** » 01 gen 1970, 01:33

Con la combinatoria:
 Abbiamo
 
 sum[j=1..n] (j k) = (n+1 k+1)
 
 ora
 x^2 = 2 (x 2) + (x 1)
 
 dunque
 sum[j=1..n] j^2 = 2sum[j=1..n] (j 2) + sum[j=1..n] (j 1) =
 = 2 (n+1 3) + (n+1 2) = n(n+1)(2n+1)/6
 
 come volevasi dimostrare

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

Che fai mi tradisci lakrimablu???
 
 Comunque... esiste una dimostrazione del fatto che sum = P(n), dove deg (P(n))=k+1 e i coefficienti sono razionali.
 E\' quindi sufficiente impostare un sistema di quattro equazioni lineari nelle variabili a,b,c,d, che altro non sono se non i coefficienti del polinomio. Tutto qui.
 L\'altra: sum = sum] = 1*n+3*(n-1)+..+(2n+1)*1 = sum => 3*sum = sum + sum - sum = (n+1)n^2+n(n+1)-n(n+1)/2 = n(n+1)(n+1-1/2)/6 = n(n+1)(2n+1)/6. cvd (qed)...
 tanto per non fare lo sborone...

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

Bah, giravo per i messaggi \"stagionati\" e ho trovato questo. Intanto è un bel ripasso, e ne approfitto per uppare. Poi aggiungo alla lista la mia dimostrazione \"geometrica\".
 
 Disegnate un triangolo di puntini, in modo che siano i vertici di una maglia a triangoli equilateri di lato 1.
 
 Ora numerate i punti in modo che l\'unico punto della prima fila valga 1; i 2 p.ti della 2a fila valgano 2; ...; gli n p.ti della n-esima e ultima fila valgano n.
 
 Es.:
 ................1
 ..............2..2
 ............3..3..3
 ..........4..4..4..4
 
 La somma totale (che chiamerò S) vale il numero cercato (è la somma dei primi n quadrati...).
 
 Ora ripetete la stessa costruzione per tre volte, cambiando ogni volta l\'orientazione:
 
 ................1.......................4.......................4
 ..............2..2...................3..4...................4..3
 ............3..3..3...............2..3..4................4..3..2
 ..........4..4..4..4...........1..2..3..4............4..3..2..1
 
 Sommate i tre triangoli e ottenete un triangolo che contiene un valore costante, che non è difficile dimostrare essere 2n+1. Ma allora
 
 3 S = < gli elementi del triangolo > * (2n+1) = n(n+1)(2n+1)/2. []
 
 Ciao. M.
 
 \"We shall see. So many strange things have chanced that to learn the prais of a fair lady under the loving strokes of a Dwarf\'s axe will seem no great wonder.\" [ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 03-01-2005 12:55 ]

metafisic · Messaggio da **metafisic** » 01 gen 1970, 01:33

Si può usare anche il fatto che (t+1)^3-t^3=3t^2+3t+1, sommare su t da 0 a n-1, conoscore la somma dei primi n numeri naturali.Con questa somma telescopica si può dimostrare il fatto di mago:
 
 (t+1)^n-t^n=bin(n,n-1)t^n-1+...+nt+1
 
 
 [addsig]

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Poiche\' mi e\'capitato un quesito che so risolvere,
 mi ci ficco pure io.
 [Per comprendere la mia soluzione fare riferimento
 al post \" la serie di Mengoli...\" in questa stessa pagina]
 Si ha:
 x2=x(x-1)+x ,ovvero con le notazioni dell\'analisi discreta:
 x2=x(2)+x(1)
 Sommando da 1 ad n si ha:
 <IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/alt.bmp">
 Questa si\' che e\' una dimostrazione alternativa!