Proposta Indecente 2
Moderatore: tutor
11) Sia (x,y,z) soluzione delle\'equazione data. Sia k=MCD(x,y,z), quindi (x,y,z)=(ka,kb,kc) con MCD(a,b,c)=1.
<BR>Se (x,y,z) è soluzione, allora si ha che a^3+2b^3+4c^3=8abc, ma allora a pari, quindi b pari e anche c, ma MCD(a,b,c)=1, quindi si giunge ad un assurdo.
<BR>
<BR>12) La soluzione è identica di fatto...
<BR>
<BR>13) (x+y)p=xy => p|x vel p|y.
<BR>Sia p|x. quindi x=ap. Allora ap+y=ay, quindi a|y, e y=ab.
<BR>p+b=ab, ma allora b|p, quindi b=1 vel b=p.
<BR>Se b=1 si ha come soluzione (p;p(p+1)). (e anche (p(p+1);p)
<BR>Se b=p si ha come soluzione (2p;2p)
<BR>
<BR>14) n^4+4^n non è mai primo: se n è pari, si ha che la somma è divisibile per 4; se è dispari, n^4==1 (mod 5) per il piccolo teorema di Fermat, mentre 4^n==(-1)^n==-1 (mod 5), quindi 5|(n^4+4^n), e n^4+4^n>5.
<BR>Se (x,y,z) è soluzione, allora si ha che a^3+2b^3+4c^3=8abc, ma allora a pari, quindi b pari e anche c, ma MCD(a,b,c)=1, quindi si giunge ad un assurdo.
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<BR>12) La soluzione è identica di fatto...
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<BR>13) (x+y)p=xy => p|x vel p|y.
<BR>Sia p|x. quindi x=ap. Allora ap+y=ay, quindi a|y, e y=ab.
<BR>p+b=ab, ma allora b|p, quindi b=1 vel b=p.
<BR>Se b=1 si ha come soluzione (p;p(p+1)). (e anche (p(p+1);p)
<BR>Se b=p si ha come soluzione (2p;2p)
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<BR>14) n^4+4^n non è mai primo: se n è pari, si ha che la somma è divisibile per 4; se è dispari, n^4==1 (mod 5) per il piccolo teorema di Fermat, mentre 4^n==(-1)^n==-1 (mod 5), quindi 5|(n^4+4^n), e n^4+4^n>5.
ma_go, non hai considerato il caso in cui n è multiplo di 5. Posto una soluzione differente sempre per il 14).
<BR>
<BR>n^4+4^n=(n^2+2^n)^2-[2^(n+1)]*n^2.
<BR>
<BR>Supponiamo n dispari del tipo 2k+1; per n pari chiaramente n^4+4^n è pari e >2. Sostituiamo:
<BR>
<BR>[(2k+1)^2+2^(2k+1)]^2-[2^(2k+2)*(2k+1)^2]
<BR>
<BR>e scomponendo il prodotto notevole
<BR>
<BR>[[(2k+1)^2+2^(2k+1)]+[2^(k+1)*(2k+1)]]*[[(2k+1)^2+2^(2k+1)]-[2^(k+1)*(2k+1)].
<BR>
<BR>Dunque sarebbe primo solo se [(2k+1)^2+2^(2k+1)]-[2^(k+1)*(2k+1)]=1 ossia se n=1; ma poichè n>1, n^4+4^n ha almeno 2 fattori e quindi non è primo. QED
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<BR>n^4+4^n=(n^2+2^n)^2-[2^(n+1)]*n^2.
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<BR>Supponiamo n dispari del tipo 2k+1; per n pari chiaramente n^4+4^n è pari e >2. Sostituiamo:
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<BR>[(2k+1)^2+2^(2k+1)]^2-[2^(2k+2)*(2k+1)^2]
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<BR>e scomponendo il prodotto notevole
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<BR>[[(2k+1)^2+2^(2k+1)]+[2^(k+1)*(2k+1)]]*[[(2k+1)^2+2^(2k+1)]-[2^(k+1)*(2k+1)].
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<BR>Dunque sarebbe primo solo se [(2k+1)^2+2^(2k+1)]-[2^(k+1)*(2k+1)]=1 ossia se n=1; ma poichè n>1, n^4+4^n ha almeno 2 fattori e quindi non è primo. QED
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soluzione del 15:
<BR>Aggiungendo una retta essa può aggiungre al numero delle regioni una regione in più della precedente con la seguente costruzione: individuo un punto non di intersezione con un altra retta della retta precedente. Eseguo una rotazione di centro questo punto di un angolo tale per cui la nuova retta non sia parallela a nessuna delle precedenti.
<BR>Ora si dimostra facilmente che il numero di regioni è n(n+1)/2 +1.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ale86 il 03-02-2003 21:08 ]
<BR>Aggiungendo una retta essa può aggiungre al numero delle regioni una regione in più della precedente con la seguente costruzione: individuo un punto non di intersezione con un altra retta della retta precedente. Eseguo una rotazione di centro questo punto di un angolo tale per cui la nuova retta non sia parallela a nessuna delle precedenti.
<BR>Ora si dimostra facilmente che il numero di regioni è n(n+1)/2 +1.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ale86 il 03-02-2003 21:08 ]