Proposta Indecente 2

dino · Messaggio da **dino** » 01 gen 1970, 01:33

vabbuò, da parte mia l\'impegno (purtroppo posso mettere solo quello!!) c\'è <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

problemi di geometria sono un po\' a corto (una decina) cmq ok

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

11) Sia (x,y,z) soluzione delle\'equazione data. Sia k=MCD(x,y,z), quindi (x,y,z)=(ka,kb,kc) con MCD(a,b,c)=1.
 Se (x,y,z) è soluzione, allora si ha che a^3+2b^3+4c^3=8abc, ma allora a pari, quindi b pari e anche c, ma MCD(a,b,c)=1, quindi si giunge ad un assurdo.
 
 12) La soluzione è identica di fatto...
 
 13) (x+y)p=xy => p|x vel p|y.
 Sia p|x. quindi x=ap. Allora ap+y=ay, quindi a|y, e y=ab.
 p+b=ab, ma allora b|p, quindi b=1 vel b=p.
 Se b=1 si ha come soluzione (p;p(p+1)). (e anche (p(p+1);p)
 Se b=p si ha come soluzione (2p;2p)
 
 14) n^4+4^n non è mai primo: se n è pari, si ha che la somma è divisibile per 4; se è dispari, n^4==1 (mod 5) per il piccolo teorema di Fermat, mentre 4^n==(-1)^n==-1 (mod 5), quindi 5|(n^4+4^n), e n^4+4^n>5.

Maus · Messaggio da **Maus** » 01 gen 1970, 01:33

ma_go, non hai considerato il caso in cui n è multiplo di 5. Posto una soluzione differente sempre per il 14).
 
 n^4+4^n=(n^2+2^n)^2-[2^(n+1)]*n^2.
 
 Supponiamo n dispari del tipo 2k+1; per n pari chiaramente n^4+4^n è pari e >2. Sostituiamo:
 
 [(2k+1)^2+2^(2k+1)]^2-[2^(2k+2)*(2k+1)^2]
 
 e scomponendo il prodotto notevole
 
 [[(2k+1)^2+2^(2k+1)]+[2^(k+1)*(2k+1)]]*[[(2k+1)^2+2^(2k+1)]-[2^(k+1)*(2k+1)].
 
 Dunque sarebbe primo solo se [(2k+1)^2+2^(2k+1)]-[2^(k+1)*(2k+1)]=1 ossia se n=1; ma poichè n>1, n^4+4^n ha almeno 2 fattori e quindi non è primo. QED

SKACCO · Messaggio da **SKACCO** » 01 gen 1970, 01:33

scusa Maus ma non è che mi potresti spiegare il perchè del tuo primo passaggio?? per il resto l\'ho capita...
 pat

ale86 · Messaggio da **ale86** » 01 gen 1970, 01:33

soluzione del 15:
 Aggiungendo una retta essa può aggiungre al numero delle regioni una regione in più della precedente con la seguente costruzione: individuo un punto non di intersezione con un altra retta della retta precedente. Eseguo una rotazione di centro questo punto di un angolo tale per cui la nuova retta non sia parallela a nessuna delle precedenti.
 Ora si dimostra facilmente che il numero di regioni è n(n+1)/2 +1. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ale86 il 03-02-2003 21:08 ]

Maus · Messaggio da **Maus** » 01 gen 1970, 01:33

Allora:
 n^4+4^n=(n^2)^2+2*[2^(n)]*n^2+(2^n)^2-[2^(n+1)]*n^2=
 
 (n^2+2^n)^2-[2^(n+1)]*n^2.