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Azarus
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Messaggio da Azarus » 01 gen 1970, 01:33

che ne dite se posto piu o meno 100 problemi su questo forum che da tempo langue? data la mole del lavoro non si sorprendano le vecchie leve del forum se tali problemi li posi gia tempo addietro ok?
<BR>
<BR>1) Problema di Sylvester
<BR> sono dati n punti nel piano con la seguente proprietà:
<BR> presi comunque 2 punti abbiamo un altro punto sulla stessa retta
<BR> dimostrare che tutti gli n punti stanno su una stessa retta<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 02-02-2003 19:45 ]

Azarus
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Messaggio da Azarus » 01 gen 1970, 01:33

2) sono dati nel piano n punti ed n punti neri.
<BR>dimostrare che esiste una maniera per connettere ad ogni punto bianco un punto nero senza che i segmenti si intersechino.

Azarus
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Messaggio da Azarus » 01 gen 1970, 01:33

3)siano dati n punti nel piano con la proprietà che presi comunque tre di essi l\'area dell triangolo corrsipondente è =<1
<BR>mostrare che tutti gli n punti sono contenuti in un trianglo di area =<4

Azarus
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Messaggio da Azarus » 01 gen 1970, 01:33

4)ci sono un certo numero di pile di monete.due giocatori a turno fanno la loro mossa,che consiste nel prendere ogni pila con più di 1 moneta e dividerla in 2 pile più piccole.perde chi non ha più mosse da fare.stabilire ,viste le pile iniziali,chi vince.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 02-02-2003 00:17 ]

Azarus
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Messaggio da Azarus » 01 gen 1970, 01:33

5)in una scacchiera di dimensioni NxN sono disposte delle torri in modo che se una casella (i,j) è libera allora sulla riga i e j ci sono almeno n torri.mostrare che sulla scacchiera ci sono almeno (n^2)/2 torri.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 02-02-2003 00:20 ]

Azarus
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Messaggio da Azarus » 01 gen 1970, 01:33

e ora un po\' di diofantee:
<BR>
<BR>6) trovare tutte le soluzioni di x^2 + y^2 = 3(w^2 + z^2)
<BR>con x,y,w,z interi

Azarus
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Messaggio da Azarus » 01 gen 1970, 01:33

7) 15x^2 - 7y^2 = 9
<BR> trovare tutte le soluzioni intere

Azarus
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Messaggio da Azarus » 01 gen 1970, 01:33

8 ) trovare tutte le soluzioni di x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz
<BR>con x,y,z interi

Azarus
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Messaggio da Azarus » 01 gen 1970, 01:33

9) trovare tutte le soluzioni intere di a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 2abcd

Azarus
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Messaggio da Azarus » 01 gen 1970, 01:33

l\'ultimo per oggi:
<BR>
<BR>10) trovare tutte le soluzioni di x^2 + xy +y^2 = 2z^2

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Ripeto... qualcuno delle nuove leve si faccia vivo!
<BR>
<BR>Ci sono 10 problemi ottimi per un primo approccio con il problem solving... non fateli cadere nell\'oblio

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Uff... provate a partire con l\'aritmetica. Gli altri sono più \"sottili\", se mi passate il termine (c\'è pure un IMO (79?)). Però fatelo! Acciderpolina!

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ale86
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Messaggio da ale86 » 01 gen 1970, 01:33

1) E\' immediato che ci sono 3 punti allineati. Supponiamo che esista un punto non allineato ai primi 3. Prendo questo punto e un altro. Deve perciò esistere un altro punto. Prendo questo e un altro dei primi 3. Deve quindi esistere ancora un altro punto. Ripeto lo stesso procedimento semre con gli stessi 2 punti dei tre allineati. Nessuno dei punti precedentemente trovati può essere allineato con la nuova coppia perchè la nuova retta forma sempre un angolo minore delle precedenti con la retta iniziale e il loro punto d\'incontro è uno dei due punti iniziali.

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

Anche se non sono una \"nuova leva\" tolgo di mezzo i tre più facili.... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>6)L\'unica soluzione è (0,0,0,0): consideriamo che, se l\'MCD di x,y,w,z è diverso da 1, ma è k, i quattro numeri si possono riscrivere come (x,y,w,z)=(ka,kb,kc,kd), e che anche (a,b,c,d) è soluzione dell\'equazione data. Quindi per trovare TUTTE le soluzioni basta trovare la primitiva. Supponiamo quindi che l\'MCD sia 1. Ma x e y devono essere entrambi divisibili per 3 (se non lo fossero x^2+y^2 non sarebbe divisibile per 3). Quindi 9|(x^2+y^2), ma allora 3|(w^2+z^2), per cui sia 3|w sia 3|z, ma quindi MCD(x,y,z,w)=3=/=1, che porta ad un assurdo.
<BR>L\'unica soluzione è quindi (0,0,0,0).
<BR>
<BR>7)L\'equazione 15x^2-7y^2 non ha soluzioni intere: consideriamo la diofantea 15a-7b=9; essa ha come soluzioni (a,b) = (9+63m,18+135m), al variare di m in Z. Ma un quadrato non dà maik resto 3 se diviso per 15, per cui b non può mai essere un quadrato.
<BR>
<BR>10)L\'unica soluzione è (0,0,0): consideriamo che, se MCD(x,y,z)=k, (x,y,z)=(ka,kb,kc), e si ha che (a,b,c) è soluzione dell\'euqazione data. Cerchiamo quindi le soluzioni primitive dell\'equazione: x^2+xy+y^2 = (x+y)^2-xy. Perché questa quantità sia pari, (x+y) e xy devono essere entrambi pari oppure entrambi dispari. La seconda opportunità è impossibile, per cui x e y sono entrambi pari, ma allora x^2+xy+y^2 è divisibile per 4, ma allora z^2 è divisibile per 2, quindi MCD(x,y,z) = 2 =/= 1, che è un assurdo.

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ale86
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Messaggio da ale86 » 01 gen 1970, 01:33

2) Ovviamente per n=1 la tesi è valida. Aggiungo un punto nero e uno bianco. Se il segmento che li congiunge interseca il precedente, sicuramente congiungendo il punto bianco della prima coppia e il punto nero della seconda essi non si intersecano: sono i lati opposti di un quadrilatero. Se il segmento, per n maggiori, dovesse incrociare più di un altro segmento basta ripetere il procedimento.
<BR>L\'ultimo punto potrei svilupparlo un po\' di più, ma lascio il compio a qualcuno che ne abbia un po\' più di voglia.

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