dimostrare che la somma di n numeri dispari successivi, con n a partire da 1, da sempre un quadrato perfetto
<BR>es: 1+3+5+7=16
<BR>1+3+5+7+9=25
<BR>1+3+5+7+9+11+13=49
somma di numeri dispari
Moderatore: tutor
MODO 1)
<BR>Dato un quadrato perfetto n² il successivo quadrato perfetto (n+1)² si ottiene aggiungendo 2n+1. Perciò, dato che 1 è un quadrato perfetto, ogni numero della forma 1+(2*1+1)+(2(2*1+1)+1)+....+(2k+1)+(2(2k+1)+1) è un quadrato perfetto. Ma i termini della sommatoria rappresentano i numeri dispari in sequenza.
<BR>MODO 2)
<BR>Sappiamo che la somma dei primi n numeri naturali è n(n+1)/2.
<BR>Ogni numero dispari è della forma 2k+1=k+(k+1) Perciò la somma di k dispari consecutivi si può scrivere come (0+1)+(1+2)+(2+3)+...+(k+(k+1))=0+2*1+2*2+2*3...+2*k+k+1=2k(k+1)/2 + k+1 = (k+1)².
<BR>Ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [addsig]
<BR>Dato un quadrato perfetto n² il successivo quadrato perfetto (n+1)² si ottiene aggiungendo 2n+1. Perciò, dato che 1 è un quadrato perfetto, ogni numero della forma 1+(2*1+1)+(2(2*1+1)+1)+....+(2k+1)+(2(2k+1)+1) è un quadrato perfetto. Ma i termini della sommatoria rappresentano i numeri dispari in sequenza.
<BR>MODO 2)
<BR>Sappiamo che la somma dei primi n numeri naturali è n(n+1)/2.
<BR>Ogni numero dispari è della forma 2k+1=k+(k+1) Perciò la somma di k dispari consecutivi si può scrivere come (0+1)+(1+2)+(2+3)+...+(k+(k+1))=0+2*1+2*2+2*3...+2*k+k+1=2k(k+1)/2 + k+1 = (k+1)².
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