trovare la dimostrazione...

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Moderatore: tutor

call
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Messaggio da call » 01 gen 1970, 01:33

Dimostrare che 26 è l\'unico numero intero compreso fra un numero al quadrato 5²=25 ed un numero al cubo 3³=27
I problemi che valgono un attacco, lo dimostrano con un controattacco.

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Dobbiamo mostrare che l\'equazione u³=v²+2 ha come soluzioni intere positive (anche se ragionare in Z è la stessa cosa) solo v=5, u=3.
<BR>Con facili calcoli vediamo che non esistono soluzioni per v<5 e u<3. Dunque possiamo riscrivere l\'equazione sotto la forma
<BR>(3+y)³-(5+x)²=2 e mostrare che quest\'ultima non ha soluzioni intere.
<BR>Osserviamo che y==x (mod 2).
<BR>Se y==1 (mod 2) allora il 1° membro è ==0 (mod 4), mentre il 2° non lo è.
<BR>Quindi y e x sono pari; ma allora (5+x)²==1 (mod 4); dunque, dato che
<BR>3+y==(3+y)³==1(mod 4), ne consegue che y==2 mod 4.
<BR>Mostriamo che ciò è assurdo. Svolgiamo l\'espressiamo e portiamo a fattor comune.
<BR>y(y²+9y+27)=x(10+x)
<BR>se y==2 mod 4 allora il primo membro è == 2 (mod 4) mentre il secondo è dato dal prodotto di due numeri pari e dunque è ==0 (mod 4).
<BR>Dunque la tesi è dimostrata. Spero che sia tutto giusto. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>Ciao
<BR>P.S. Anch\'io so usare il codice ASCII ¹²³
<BR>
<BR>[addsig]<BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: lordgauss on 2001-06-19 16:09 ]</font>

call
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Messaggio da call » 01 gen 1970, 01:33

Sto analizzando la tua dimostrazione, visto che è completamente differente dalla mia. Ti faccio sapere appena ho finito d vederla. [addsig]
I problemi che valgono un attacco, lo dimostrano con un controattacco.

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Ciao, sono lordgauss
<BR>purtroppo la mia dimostrazione è fallace:
<BR>infatti ho sbagliato un banale calcolo;
<BR>se y è pari allora è == 0 e non a 2 (mod 4). Ciò non porta ad alcun assurdo (perlomeno nell\'immediato).
<BR>I\'m sorry <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">. Cercherò di farmi venire qualche altra idea.
<BR>Ciao [addsig]

call
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Messaggio da call » 01 gen 1970, 01:33

ti do un indizio: prova ad usare il metodo della \"discesa infinita\"...
I problemi che valgono un attacco, lo dimostrano con un controattacco.

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Ciao call!
<BR>Mi sono accorto adesso che il problema che tu proponi è stato oggetto di una discussione di un mese nel vecchio forum tra Lord_Gauss (non io, un altro di cui ignoravo l\'esistenza: che strano!), Camillo e sprmnt21. La soluzione proposta da Camillo (e da Dvornicich) implica concetti algebrici piuttosto complessi (di nome e di fatto). A questo punto sono davvero curioso <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> . Se tu conosci una soluzione elementare, postala per favore!
<BR>ciao[addsig]

call
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Messaggio da call » 01 gen 1970, 01:33

Mi spiace ma credo che l\'unica soluzione al problema sia quella complessa che hai letto nel vecchi forum. Il problema è stato affrontato per la prima volta da Fermat,che, avendo lui trovato la dimostrazione, sfidò tutti i matematici del suo tempo a scovarne una dimostrazione che nessuno riuscì a produrre. Il probema credo non possa avere una soluzione elementare, ma è trattato come ti dicevo con la \"discesa infinita\". Il post dove hanno trattato il problema è ancora attivo? se si mi puoi postare l\'indirizzo per andar a vedere come lo trattano? Grazie!
I problemi che valgono un attacco, lo dimostrano con un controattacco.

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Ciao call.
<BR>Per vedere la soluzione data da Camillo devi andare in: vecchio forum > vuoi proporre i tuoi esercizi?Qui puoi farlo! > una domanda.
<BR>Il metodo utilizzato non è però quello della discesa infinita. Viene costruito un campo complesso in cui ancora vale il teorema di fattorizzazione unica...
<BR>Penso che la tua dimostrazione sia del tipo:
<BR>- supponiamo che esista un\'altra soluzione
<BR>- allora è possibile costruirne una più piccola e poi un\'altra più piccola e così via... ma ciò è assurdo dato il dominio in cui siamo.
<BR>Se è all\'incirca così rientra nella mia definizione \"soluzione elementare\".
<BR>Sono dunque ancora curioso. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">. Se puoi, postala.
<BR>Ciao[addsig]

Gauss
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Messaggio da Gauss » 01 gen 1970, 01:33

Salve, il Lord_Gauss, di cui tu, lordgauss (<IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">) parli sono io, Gauss... beh, è un po\' un casino no ?
<html>
I can smile... and kill while i smile.
</html>

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Beh, sono contento tutto sia finalmente chiarito. Ti ringrazio, avresti potuto appellarti al copyright <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> .
<BR>Per ciò che riguarda questo problema, com\'è andata a finire la cosa? Sei nel frattempo venuto a conoscenza di una soluzione \"elementare\"? Inoltre, hai approfondito sulle diofantee di grado superiore al primo?
<BR>Ciao e grazie[addsig]

call
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Messaggio da call » 01 gen 1970, 01:33

Si esatto la \"discesa infinita\" è proprio il metodo che hai detto tu, ma purtroppo anche con questo sistema per ammettere di avere una soluzione si usano tecniche che non sono in grado di capire, anche se sto cercando di approfondire la cosa. Spero di poterti dare quanto prima un esauriente chiarimento. Ciao e grazie
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Grazie a te call.
<BR>Ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> [addsig]

call
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Messaggio da call » 01 gen 1970, 01:33

Sarei felice se provassi a risolvere gli altri due problemini che ho postato.
<BR>Ciao ciao[addsig]
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call
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Messaggio da call » 01 gen 1970, 01:33

ecco la dimostrazione<IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">oniamo d=sqrt(2). L\'equazione diventa a^3 = (b + id)(b - id)
<BR>
<BR>
<BR>Assumendo che (b + id) e (b - id) siano relativamente primi si ha che entrambi debbono
<BR>essere dei cubi. Posto allora (b + id) = (x + idy)^3 si ottiene
<BR>
<BR>
<BR> b = x^3 - 6xy^2 = x(x^2 - 6y^2)
<BR>
<BR>
<BR> 1 = 3yx^2 - 2y^3 = y(3x^2 - 2y^2)
<BR>
<BR>
<BR>Dalla seconda si ricava y=1 x= _+ 1 e quindi dalla prima b=_+ 5.
<BR>
<BR>
<BR>Per vedere che (b + id) e (b - id) sono relativamente primi, sia z il loro MCD.
<BR>Allora z divide (b + id) - (b - id) = 2id = id^3 , quindi d divide z (perche\' d e` un primo)
<BR>e dunque d divide b, che quindi e` pari. Ne segue che anche a e` pari, ma questo e`
<BR>assurdo, perche\' allora a^3 sarebbe divisibile per 8, mentre b^2 + 2 diviso per 4 da` resto 2.
<BR>
<BR>
<BR>NB quasi tutte le proprieta` utilizzate dipendono dalla fattorizzazione unica in primi, e quindi
<BR>non sono generalizzabili al caso x+idy con d^2 > 2.
<BR>
<BR>
<BR>[addsig]
I problemi che valgono un attacco, lo dimostrano con un controattacco.

Camillo
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Messaggio da Camillo » 01 gen 1970, 01:33

L\'ultima cosa che dici non e\' proprio esatta: per qualche intero maggiore di 2 si puo\' ancora tentare di seguire la stessa strada... Nel 1966 Stark ha dimostrato che gli unici \"d\" interi positivi per cui l\'anello di numeri Z[\\sqrt{-d}] e\' a fattorizzazione unica sono 1,2,3,7,11,19,43,67,163. Nel caso d=2, Z[\\sqrt{-2}] e\' proprio l\'insieme di numeri che hai considerato tu e nel caso d=1
<BR>l\'insime e\' quello dato da a+ib, con a e b interi.
<BR>
<BR>Con gli altri d bisogna fare un po\' di attenzione: in Z[\\sqrt{-d}] con d primo e congruo a 3 modulo 4, si infilano anche i numeri del tipo q/2+r\\sqrt{-d}/2, a patto che q e r siano entrambi dispari. La scelta non e\' bislacca: nel caso d=3 in questo modo inglobi anche 1/2+\\sqrt{-3}/2, che e\' radice del polinomio x^2+x+1.
<BR>
<BR>Nella discussione citata da lordgauss c\'e\' qualcosa sulla definizione generale di Z[\\sqrt{-d}] e anche una dimostrazione elementare del fatto che vale la fattorizzazione unica in Z[\\sqrt{-2}].
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: Camillo on 2001-07-03 14:29 ]</font>

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